Questão 1 (0.7pt cada item) Sobre a trajetória parametrizada pela função vetorial
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2} \vec{i}+\frac{2 \sqrt{2}}{5} t^{\frac{5}{2}} \vec{j}+\frac{t^{3}}{3} \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
torção em t=2 :
( ) \tau=\frac{9-6 \sqrt{2}}{502-324 \sqrt{2}}
( ) \tau=\frac{1}{36}
( ) \tau=-\frac{5}{6}
( ) \tau=\frac{1}{10}
( ) \tau=\frac{1}{100}
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2}\,\vec{i}+\frac{2\sqrt{2}}{5}\,t^{5/2}\,\vec{j}+\frac{t^{3}}{3}\,\vec{k},\quad t\ge0,
e pede a torção \tau em t=2. No cálculo vetorial a torção é dada por
\tau(t)=\frac{\bigl(\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t)\bigr)\cdot\vec r\,'''(t)}{\bigl\|\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t)\bigr\|^{2}}.

Passo 2

Vamos primeiro obter as derivadas de \vec r:
\vec r\,'(t)=\bigl(t,\;\sqrt2\,t^{3/2},\;t^{2}\bigr),\quad \vec r\,''(t)=\Bigl(1,\;\tfrac{3\sqrt2}{2}\,t^{1/2},\;2t\Bigr),\quad \vec r\,'''(t)=\Bigl(0,\;\tfrac{3\sqrt2}{4}\,t^{-1/2},\;2\Bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em t=2:
\vec r\,'(2)=(2,4,4),\quad \vec r\,''(2)=(1,3,4),\quad \vec r\,'''(2)=\Bigl(0,\tfrac34,2\Bigr).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial e em seguida o escalar:
\vec{r}\,'(2) \times \vec{r}\,''(2) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\[3pt] 2 & 4 & 4 \\\\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = (4,\,-4,\,2),
\bigl(\vec{r}\,'(2) \times \vec{r}\,''(2)\bigr) \cdot \vec{r}\,'''(2) = (4)(0) + (-4)\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr) + (2)(2) = -3 + 4 = 1.]

Passo 5

O quadrado da norma do produto vetorial é
\bigl\|\vec r\,'(2)\times\vec r\,''(2)\bigr\|^{2} =4^{2}+(-4)^{2}+2^{2}=16+16+4=36.

Passo 6

Substituindo na fórmula da torção em t=2:
\tau(2)=\frac{1}{36}.
Isso coincide com a segunda alternativa.

Resposta

\tau=\tfrac{1}{36}

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