Questão 1 (0.7pt cada item) Sobre a trajetória parametrizada pela função vetorial
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2} \vec{i}+\frac{2 \sqrt{2}}{5} t^{\frac{5}{2}} \vec{j}+\frac{t^{3}}{3} \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
aceleração tangencial em t=2 :
( ) 0
( ) 5
( ) 3
( ) \frac{6}{2+\sqrt{2}}
( ) 1
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a trajetória
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2}\,\vec{i}+\frac{2\sqrt{2}}{5}\,t^{5/2}\,\vec{j}+\frac{t^{3}}{3}\,\vec{k},\quad t\ge0,
e pede a aceleração tangencial em t=2.
Conteúdo envolvido: derivadas de funções vetoriais, módulo da velocidade (ou “speed”) e definição da aceleração tangencial
a_{t}=\frac{d}{dt}\bigl\lVert\vec{v}(t)\bigr\rVert.

Passo 2

Calcular a velocidade \vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t). Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\Bigl(t,\;\frac{2\sqrt{2}}{5}\cdot\frac{5}{2}\,t^{3/2},\;t^{2}\Bigr) =\bigl(t,\;\sqrt{2}\,t^{3/2},\;t^{2}\bigr).

Passo 3

Determinar o módulo da velocidade:
\bigl\lVert\vec{v}(t)\bigr\rVert =\sqrt{\,t^{2}+(\sqrt{2}\,t^{3/2})^{2}+(t^{2})^{2}\,} =\sqrt{\,t^{2}+2t^{3}+t^{4}\,} =\sqrt{\,t^{2}(t+1)^{2}\,} =t\,(t+1),\quad t\ge0.

Passo 4

Aceleração tangencial é a derivada de v(t):
a_{t}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[t\,(t+1)\bigr] =2t+1.

Passo 5

Avaliar em t=2:
a_{t}(2)=2\cdot2+1=5.

Resposta

5

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