Questão 1 (0.7pt cada item) Sobre a trajetória parametrizada pela função vetorial
\vec{r}(t)=\frac{t^{2}}{2} \vec{i}+\frac{2 \sqrt{2}}{5} t^{\frac{5}{2}} \vec{j}+\frac{t^{3}}{3} \vec{k}, \quad t \geq 0
está correto:
aceleração normal em t=2 :
( ) 1
( ) 0
( ) \frac{5}{4}
( ) \frac{502-324 \sqrt{2}}{6}
( ) \frac{3}{\sqrt{6}}
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a trajetória
\vec r(t)=\frac{t^2}{2}\,\vec i+\frac{2\sqrt2}{5}\,t^{5/2}\,\vec j+\frac{t^3}{3}\,\vec k,\quad t\ge0,
e pede a aceleração normal em t=2. Esse conteúdo é de cinemática vetorial, e vamos usar a fórmula
a_n=\frac{\|\vec v\times\vec a\|}{\|\vec v\|},
onde \vec v=\dot{\vec r} e \vec a=\ddot{\vec r}.

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade
\vec v(t)=\dot{\vec r}(t) =\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{t^2}{2}\Bigr)\,\vec i +\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{2\sqrt2}{5}t^{5/2}\Bigr)\,\vec j +\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{t^3}{3}\Bigr)\,\vec k.
Derivando cada componente:
\dot{\bigl(\tfrac{t^2}{2}\bigr)}=t, \quad \dot{\bigl(\tfrac{2\sqrt2}{5}t^{5/2}\bigr)} =\frac{2\sqrt2}{5}\cdot\frac{5}{2}\,t^{3/2} =\sqrt2\,t^{3/2}, \quad \dot{\bigl(\tfrac{t^3}{3}\bigr)}=t^2.
Logo
\vec v(t)=t\,\vec i+\sqrt2\,t^{3/2}\,\vec j+t^2\,\vec k.

Passo 3

Agora a aceleração
\vec a(t)=\dot{\vec v}(t) =\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)\,\vec i +\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt2\,t^{3/2}\bigr)\,\vec j +\frac{d}{dt}\bigl(t^2\bigr)\,\vec k.
Derivando cada componente:
\dot(t)=1, \quad \dot\bigl(\sqrt2\,t^{3/2}\bigr) =\sqrt2\cdot\frac{3}{2}\,t^{1/2} =\frac{3\sqrt2}{2}\,t^{1/2}, \quad \dot(t^2)=2t.
Portanto
\vec a(t)=1\,\vec i+\frac{3\sqrt2}{2}\,t^{1/2}\,\vec j+2t\,\vec k.

Passo 4

Avaliaremos em t=2:
\vec v(2)=2\,\vec i+\sqrt2\,(2)^{3/2}\,\vec j+4\,\vec k =2\,\vec i+4\,\vec j+4\,\vec k,
\vec a(2)=1\,\vec i+\frac{3\sqrt2}{2}\,\sqrt2\,\vec j+4\,\vec k =1\,\vec i+3\,\vec j+4\,\vec k.

Passo 5

Calculamos o produto vetorial
\vec v(2)\times\vec a(2) =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\\ 2 & 4 & 4\\\\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} =4\,\vec i-4\,\vec j+2\,\vec k.

Passo 6

O módulo do produto vetorial é
\|\vec v(2)\times\vec a(2)\| =\sqrt{4^2+(-4)^2+2^2} =\sqrt{36}=6,
e o módulo de \vec v(2) é
\|\vec v(2)\| =\sqrt{2^2+4^2+4^2} =\sqrt{36}=6.
Logo a aceleração normal em t=2 é
a_n=\frac{6}{6}=1.

Resposta

1

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