Questão 2 Considere a superfície parametrizada (guarda-chuva de Whitney) \vec{r}=u v \vec{i}+u \vec{j}+v^{2} \vec{k}.
No ponto em que u=8, v=3 :
(A) (0.7 \mathrm{pt}) obtenha o vetor normal unitário \vec{N}.
(B) ( 0.7 pt ) obtenha uma equação cartesiana do plano tangente.
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Há questões na página seguinte.

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada
\vec r(u,v)=\langle uv,\;u,\;v^2\rangle
e pede, no ponto (u,v)=(8,3):
– (A) o vetor normal unitário \vec N à superfície;
– (B) a equação cartesiana do plano tangente.
Para isso vamos usar derivadas parciais, produto vetorial e normalização, e depois a fórmula do plano tangente
\vec N\cdot\bigl\langle x,y,z\bigr\rangle -\vec N\cdot\vec r_0=0,
onde \vec r_0=\vec r(8,3).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de \vec r:
\vec r_u=\frac{\partial}{\partial u}\langle uv,u,v^2\rangle =\langle v,\,1,\,0\rangle,
\vec r_v=\frac{\partial}{\partial v}\langle uv,u,v^2\rangle =\langle u,\,0,\,2v\rangle.
Em (u,v)=(8,3) isso vale
\vec r_u(8,3)=\langle 3,1,0\rangle e
\vec r_v(8,3)=\langle 8,0,6\rangle.

Passo 3

O vetor normal não unitário é dado por
\vec r_u\times\vec r_v =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ 8 & 0 & 6 \end{vmatrix} =\langle 1\cdot6-0\cdot0,\;-\,\bigl(3\cdot6-0\cdot8\bigr),\;3\cdot0-1\cdot8\rangle =\langle 6,\,-18,\,-8\rangle.

Passo 4

A norma desse vetor é
\|\langle 6,-18,-8\rangle\| =\sqrt{6^2+(-18)^2+(-8)^2} =\sqrt{36+324+64} =2\sqrt{106}.
Logo o vetor normal unitário pode ser escolhido como
\vec N =\frac{1}{2\sqrt{106}}\langle 6,-18,-8\rangle =\frac{1}{\sqrt{106}}\langle 3,-9,-4\rangle.

Passo 5

O ponto da superfície é
\vec r(8,3)=\langle 8\cdot3,\;8,\;3^2\rangle =\langle 24,8,9\rangle.
A equação do plano tangente, com normal \langle 3,-9,-4\rangle, é
\langle 3,-9,-4\rangle\cdot\langle x-24,\;y-8,\;z-9\rangle=0
que expande para
3(x-24)-9(y-8)-4(z-9)=0 \;\Longrightarrow\; 3x-9y-4z+36=0.

Resposta

(A) \displaystyle \vec N=\frac{1}{\sqrt{106}}\langle 3,-9,-4\rangle.
(B) \displaystyle 3x-9y-4z+36=0.

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