Questão 3. Considere o campo vetorial radial dado por
, a superfície esférica
, e seu normal unitário de superfície
orientado para fora.
(A) (1.0pt) Determine se
é um campo conservativo indicando, se existir, o respectivo potencial radial
nulo na origem.
(B) (1.0pt) Determine o divergente de
.
(C) (1.0pt) Calcule o fluxo $\iint_{S_{3}} \vec{F} \cdot \vec{N} d S.
(A) (1.0pt) Determine se
(B) (1.0pt) Determine o divergente de
(C) (1.0pt) Calcule o fluxo $\iint_{S_{3}} \vec{F} \cdot \vec{N} d S.
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial radial
,
onde e
.
Precisamos determinar:
A) se é conservativo e encontrar o potencial radial
com
;
B) o divergente ;
C) o fluxo de através da esfera de raio 3 orientada para fora.
onde
Precisamos determinar:
A) se
B) o divergente
C) o fluxo de
Passo 2
Para um campo radial da forma
, tem‐se sempre
onde
é suave, logo
é conservativo.
Se existir um potencial , vale
Se existir um potencial
Comparando as componentes radiais, obtemos
Passo 3
Integramos para achar
:
Fazendo
,
, quando
vem
e quando
vem
.
Calculando dá
Verificamos
como desejado.
Passo 4
Usamos a fórmula para o divergente de
:
Aqui
, então
. Logo
Passo 5
Para o fluxo na esfera de raio 3, notamos que
e a normal unitária
são paralelos. Em
vale
Como a área da esfera de raio 3 é
, o fluxo é
Resposta
(A)
é conservativo e um potencial radial com
é
(B)
(C)
(C)