Questão 3. Considere o campo vetorial radial dado por \vec{F}=\exp (2-r) \vec{r}, a superfície esférica S_{3}=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=3^{2}\right\}, e seu normal unitário de superfície \vec{N} orientado para fora.
(A) (1.0pt) Determine se \vec{F} é um campo conservativo indicando, se existir, o respectivo potencial radial g(r) nulo na origem.
(B) (1.0pt) Determine o divergente de \vec{F}.
(C) (1.0pt) Calcule o fluxo $\iint_{S_{3}} \vec{F} \cdot \vec{N} d S.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial radial
\displaystyle \vec{F} = e^{\,2 - r}\,\vec{r},
onde r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} e \vec{r} = (x,y,z).
Precisamos determinar:
A) se \vec{F} é conservativo e encontrar o potencial radial g(r) com g(0)=0;
B) o divergente \nabla\!\cdot\vec{F};
C) o fluxo de \vec{F} através da esfera de raio 3 orientada para fora.

Passo 2

Para um campo radial da forma \vec{F}=f(r)\,\vec{r}, tem‐se sempre \nabla\times\vec{F}=0 onde f é suave, logo \vec{F} é conservativo.
Se existir um potencial g(r), vale
\nabla g(r) \;=\; g'(r)\,\frac{\vec{r}}{r} \;=\;\vec{F} \;=\;e^{2-r}\,\vec{r}.
Comparando as componentes radiais, obtemos
g'(r)\,\frac{1}{r} \;=\;e^{2-r} \quad\Longrightarrow\quad g'(r)=r\,e^{2-r}.

Passo 3

Integramos para achar g(r):
g(r) =\int_{0}^{r} s\,e^{2-s}\,ds.
Fazendo u=2-s, du=-ds, quando s=0 vem u=2 e quando s=r vem u=2-r.
\int_{0}^{r} s\,e^{2-s}\,ds =\int_{u=2}^{2-r}(2-u)\,e^{u}(-du) =\int_{2-r}^{2}(2-u)e^{u}\,du.
Calculando dá
g(r) =\Bigl[-(1+s)e^{2-s}\Bigr]_{0}^{r} =\bigl[-(1+r)e^{2-r}\bigr]-\bigl[-(1+0)e^{2}\bigr] =e^{2}-(1+r)e^{2-r}.
Verificamos g(0)=e^{2}-(1+0)e^{2}=0 como desejado.

Passo 4

Usamos a fórmula para o divergente de f(r)\,\vec{r}:
\nabla\!\cdot\bigl(f(r)\,\vec{r}\bigr) =3\,f(r)+r\,f'(r).
Aqui f(r)=e^{2-r}, então f'(r)=-e^{2-r}. Logo
\nabla\!\cdot\vec{F} =3\,e^{2-r}+r\bigl(-e^{2-r}\bigr) =(3-r)\,e^{2-r}.

Passo 5

Para o fluxo na esfera de raio 3, notamos que \vec{F} e a normal unitária \vec{N}=\hat r são paralelos. Em r=3 vale
\vec{F}\cdot\vec{N} =e^{2-3}\,\vec{r}\cdot\hat r =e^{-1}\,(3) =3\,e^{-1}.
Como a área da esfera de raio 3 é 4\pi\cdot3^2=36\pi, o fluxo é
\iint_{S_{3}}\vec{F}\cdot\vec{N}\,dS =3\,e^{-1}\times36\pi =\frac{108\pi}{e}.

Resposta

(A) \vec{F} é conservativo e um potencial radial com g(0)=0 é
g(r)=e^{2}-(1+r)\,e^{2-r}.
(B) \displaystyle \nabla\!\cdot\vec{F}=(3-r)\,e^{2-r}.
(C) \displaystyle \iint_{S_{3}}\vec{F}\cdot\vec{N}\,dS=\frac{108\pi}{e}.

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