Questão 3(2,5) : Calcule \iiint_{E}\left(6 x^{2}+3 x-y+1\right) d V, em que E é o sólido compreendido entre os paraboloides z=2 x^{2}+2 y^{2}-4 e z=2-x^{2}-y^{2}.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{E}\left(6 x^{2}+3 x-y+1\right)\,dV,
onde E é o sólido compreendido entre os paraboloides
z=2x^{2}+2y^{2}-4
e
z=2-x^{2}-y^{2}.
Informações dadas e o que é pedido:
As superfícies que limitam E são os dois paraboloides indicados (um é para baixo, outro para cima).
A região E é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que a coordenada z está entre as duas superfícies (a menor até a maior).
O objetivo é calcular a integral tripla da função 6x^{2}+3x-y+1 sobre todo o volume E.
Passo 2
Determinar a projeção de E no plano xy (vai definir limites na coordenada radial). Os paraboloides intersectam quando seus z são iguais, então igualamos:
2x^{2}+2y^{2}-4 = 2 - x^{2}-y^{2}.
Resolver essa equação para x e y. Reagrupando termos obtemos
2x^{2}+2y^{2}-4 -2 + x^{2}+y^{2} = 0,
ou seja
3x^{2}+3y^{2}-6 = 0.
Dividindo por 3 dá
x^{2}+y^{2}=2.
Portanto a projeção de E no plano xy é o disco centrado na origem de raio \sqrt{2}:
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 2\}.
Passo 3
Escolha de coordenadas: como a projeção é um disco circular e os limites em z dependem de x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas polares (cilíndricas no espaço). Recordando a mudança:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad dV = r\,dz\,dr\,d\theta,
onde r\ge 0, 0\le \theta<2\pi. Vou explicar por que dV = r\,dz\,dr\,d\theta: a área do elemento no plano xy em coordenadas polares é r\,dr\,d\theta (porque um pequeno quadrilátero polar tem área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta), e ao acrescentar dz obtemos o volume elementar.
Os limites em z para um dado (r,\theta) vão da superfície inferior até a superior:
Integrar primeiro em z porque o integrando não depende de z. Fazer a integral em z simplesmente multiplica pela altura do sólido na direção z para cada (r,\theta). A altura é
Usar simetria para eliminar termos. Observe que a região D é o disco centrado na origem e h(r) depende só de r. Portanto as integrais dos termos lineares em x e y sobre essa região serão zero, porque são funções ímpares ao integrar sobre todo ângulo \theta de 0 a 2\pi. Mais formalmente:
O termo com 3x corresponde a 3r\cos\theta. Ao multiplicar por fatores que dependem só de r e integrar \theta de 0 a 2\pi, tem-se
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0,
logo a contribuição de 3x é zero.
O termo com -y corresponde a -r\sin\theta. Similarmente
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0,
logo a contribuição de -y é zero.
Portanto só restam os termos 6x^{2} e 1. Assim a integral se separa em duas partes:
Explico por que factorizei: o integrando é produto de uma função que depende só de \theta (no caso \cos^{2}\theta) por uma que depende só de r, então a integral dupla separa-se em produto das integrais individuais.
Calcular a integral angular:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.
(Justificativa rápida: \cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos 2\theta}{2} e a média de \cos 2\theta em um período é zero, logo integral é \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.)