Questão 3(2,5) : Calcule \iiint_{E}\left(6 x^{2}+3 x-y+1\right) d V, em que E é o sólido compreendido entre os paraboloides z=2 x^{2}+2 y^{2}-4 e z=2-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{E}\left(6 x^{2}+3 x-y+1\right)\,dV,
onde E é o sólido compreendido entre os paraboloides
z=2x^{2}+2y^{2}-4
e
z=2-x^{2}-y^{2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • As superfícies que limitam E são os dois paraboloides indicados (um é para baixo, outro para cima).
  • A região E é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que a coordenada z está entre as duas superfícies (a menor até a maior).
  • O objetivo é calcular a integral tripla da função 6x^{2}+3x-y+1 sobre todo o volume E.

Passo 2

Determinar a projeção de E no plano xy (vai definir limites na coordenada radial). Os paraboloides intersectam quando seus z são iguais, então igualamos:
2x^{2}+2y^{2}-4 = 2 - x^{2}-y^{2}.
Resolver essa equação para x e y. Reagrupando termos obtemos
2x^{2}+2y^{2}-4 -2 + x^{2}+y^{2} = 0,
ou seja
3x^{2}+3y^{2}-6 = 0.
Dividindo por 3
x^{2}+y^{2}=2.
Portanto a projeção de E no plano xy é o disco centrado na origem de raio \sqrt{2}:
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 2\}.

Passo 3

Escolha de coordenadas: como a projeção é um disco circular e os limites em z dependem de x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas polares (cilíndricas no espaço). Recordando a mudança:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad dV = r\,dz\,dr\,d\theta,
onde r\ge 0, 0\le \theta<2\pi. Vou explicar por que dV = r\,dz\,dr\,d\theta: a área do elemento no plano xy em coordenadas polares é r\,dr\,d\theta (porque um pequeno quadrilátero polar tem área aproximadamente r\,\Delta r\,\Delta\theta), e ao acrescentar dz obtemos o volume elementar.
Os limites em z para um dado (r,\theta) vão da superfície inferior até a superior:
z_{\text{inf}}=2r^{2}-4,\qquad z_{\text{sup}}=2-r^{2}.
Os limites em r e \theta são
0\le r\le \sqrt{2},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 4

Reescrever a integranda em polares. Primeiro expressar cada termo:
x^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta,\qquad x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Assim a integranda fica
6x^{2}+3x-y+1 = 6r^{2}\cos^{2}\theta + 3r\cos\theta - r\sin\theta + 1.
O elemento de volume traz um fator r, então a integranda a integrar em r,\theta,z (após colocar dV) será esse polinômio multiplicado por r.
Vou montar a integral tripla já com os limites:
\iiint_{E}\left(6 x^{2}+3 x-y+1\right)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{2}}\int_{z=2r^{2}-4}^{2-r^{2}} \bigl(6r^{2}\cos^{2}\theta + 3r\cos\theta - r\sin\theta + 1\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integrar primeiro em z porque o integrando não depende de z. Fazer a integral em z simplesmente multiplica pela altura do sólido na direção z para cada (r,\theta). A altura é
h(r) = z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}} = (2 - r^{2}) - (2r^{2}-4) = 6 - 3r^{2}.
Então após integrar em z obtemos uma integral dupla em r,\theta:
\iint_{D} \bigl(6r^{2}\cos^{2}\theta + 3r\cos\theta - r\sin\theta + 1\bigr)\,r\,h(r)\,dr\,d\theta.
Ou escrevendo explicitamente h(r):
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} \bigl(6r^{2}\cos^{2}\theta + 3r\cos\theta - r\sin\theta + 1\bigr)\,r\,(6-3r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 6

Usar simetria para eliminar termos. Observe que a região D é o disco centrado na origem e h(r) depende só de r. Portanto as integrais dos termos lineares em x e y sobre essa região serão zero, porque são funções ímpares ao integrar sobre todo ângulo \theta de 0 a 2\pi. Mais formalmente:
  • O termo com 3x corresponde a 3r\cos\theta. Ao multiplicar por fatores que dependem só de r e integrar \theta de 0 a 2\pi, tem-se
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0,
logo a contribuição de 3x é zero.
  • O termo com -y corresponde a -r\sin\theta. Similarmente
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0,
logo a contribuição de -y é zero.
Portanto só restam os termos 6x^{2} e 1. Assim a integral se separa em duas partes:
\iiint_{E}6x^{2}\,dV \quad\text{e}\quad \iiint_{E}1\,dV.

Passo 7

Calcular \iiint_{E}6x^{2}\,dV. Em coordenadas polares:
\iiint_{E}6x^{2}\,dV = 6\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} (r^{2}\cos^{2}\theta)\,r\,(6-3r^{2})\,dr\,d\theta.
Agrupando rs:
6\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{3}(6-3r^{2})\,dr.
Explico por que factorizei: o integrando é produto de uma função que depende só de \theta (no caso \cos^{2}\theta) por uma que depende só de r, então a integral dupla separa-se em produto das integrais individuais.
Calcular a integral angular:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.
(Justificativa rápida: \cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos 2\theta}{2} e a média de \cos 2\theta em um período é zero, logo integral é \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.)
Agora a integral radial:
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{3}(6-3r^{2})\,dr = \int_{0}^{\sqrt{2}}(6r^{3}-3r^{5})\,dr.
Calcular termo a termo:
\int 6r^{3}\,dr = \tfrac{6}{4}r^{4}=\tfrac{3}{2}r^{4},\qquad \int 3r^{5}\,dr = \tfrac{3}{6}r^{6}=\tfrac{1}{2}r^{6}.
Avaliar de 0 a \sqrt{2}:
\left(\tfrac{3}{2}r^{4}-\tfrac{1}{2}r^{6}\right)\Big|_{0}^{\sqrt{2}} = \tfrac{3}{2}\cdot 4 - \tfrac{1}{2}\cdot 8 = 6 - 4 = 2.
Portanto a integral de x^{2} é
\iiint_{E}x^{2}\,dV = \pi\cdot 2 = 2\pi.
Multiplicando por 6 obtemos
\iiint_{E}6x^{2}\,dV = 6\cdot 2\pi = 12\pi.

Passo 8

Calcular \iiint_{E}1\,dV, que é simplesmente o volume de E. Em coordenadas polares:
\iiint_{E}1\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}} r\,(6-3r^{2})\,dr\,d\theta.
Fazer a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{2}}(6r-3r^{3})\,dr = \left(3r^{2}-\tfrac{3}{4}r^{4}\right)\Big|_{0}^{\sqrt{2}}.
Avaliar em r=\sqrt{2} ( r^{2}=2, r^{4}=4):
3\cdot 2 - \tfrac{3}{4}\cdot 4 = 6 - 3 = 3.
Agora multiplicar pela integral em \theta, que é 2\pi:
\iiint_{E}1\,dV = 2\pi\cdot 3 = 6\pi.

Passo 9

Somar as contribuições e lembrar que os termos lineares deram zero:
\iiint_{E}(6x^{2}+3x-y+1)\,dV = \iiint_{E}6x^{2}\,dV + \iiint_{E}3x\,dV + \iiint_{E}(-y)\,dV + \iiint_{E}1\,dV.
Substituindo:
= 12\pi + 0 + 0 + 6\pi = 18\pi.

Resposta

\;18\pi

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