Questão 89: Determine o vetor que indica a direção na qual
tem derivada direcional igual a zero a partir do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o vetor que indica a direção na qual a derivada direcional de
vale zero a partir do ponto
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Queremos a direção (ou vetores de direção) tal que a derivada direcional de
nesse ponto seja igual a zero.
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (explicado devagar e com carinho).
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário é dada por
onde
é o gradiente de
e ``
’’ é o produto escalar.
- O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Intuição:
aponta na direção de máxima variação de
; a derivada direcional é a projeção dessa variação na direção escolhida. Se a derivada direcional é zero, a direção escolhida é ortogonal ao gradiente naquele ponto.
Passo 3
Calcular o gradiente de
.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo e
em
:
Substituindo
Passo 5
Condição para derivada direcional ser zero.
Queremos direções (unitárias) ou vetores de direção
tais que
Queremos direções
Escrevendo o produto escalar com
e um vetor genérico
, a condição de ortogonalidade é
Isso implica
Logo, todos os vetores de direção proporcionais a
são ortogonais ao gradiente e fazem a derivada direcional ser zero. (Para obter um vetor unitário na mesma direção, basta normalizar.)
Passo 6
Normalização (opcional, caso a prova peça direção em vetor unitário).
O comprimento de é
O comprimento de
O vetor unitário na mesma direção é