Questão 89: Determine o vetor que indica a direção na qual f(x, y)=x^{3}-y^{3} tem derivada direcional igual a zero a partir do ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor que indica a direção na qual a derivada direcional de f(x,y)=x^{3}-y^{3} vale zero a partir do ponto (2,1).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}-y^{3}.
  • O ponto de interesse é (2,1).
  • Queremos a direção (ou vetores de direção) tal que a derivada direcional de f nesse ponto seja igual a zero.

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (explicado devagar e com carinho).
  • A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) é dada por
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f e `` \cdot’’ é o produto escalar.
  • O gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Intuição: \nabla f aponta na direção de máxima variação de f; a derivada direcional é a projeção dessa variação na direção escolhida. Se a derivada direcional é zero, a direção escolhida é ortogonal ao gradiente naquele ponto.

Passo 3

Calcular o gradiente de f.
  • Derivada parcial em relação a x:
\dfrac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2}.
  • Derivada parcial em relação a y:
\dfrac{\partial f}{\partial y} = -3y^{2}.
Portanto
\nabla f(x,y)=\left(3x^{2},-3y^{2}\right).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (2,1).
Substituindo x=2 e y=1 em \nabla f:
\nabla f(2,1)=\left(3\cdot 2^{2},-3\cdot 1^{2}\right)=\left(3\cdot4,-3\right)=\left(12,-3\right).

Passo 5

Condição para derivada direcional ser zero.
Queremos direções \mathbf{u} (unitárias) ou vetores de direção \mathbf{v} tais que
\nabla f(2,1)\cdot\mathbf{u}=0.
Escrevendo o produto escalar com \nabla f(2,1)=(12,-3) e um vetor genérico \mathbf{v}=(v_{1},v_{2}), a condição de ortogonalidade é
12v_{1}-3v_{2}=0.
Isso implica
v_{2}=4v_{1}.
Logo, todos os vetores de direção proporcionais a \bigl(1,4\bigr) são ortogonais ao gradiente e fazem a derivada direcional ser zero. (Para obter um vetor unitário na mesma direção, basta normalizar.)

Passo 6

Normalização (opcional, caso a prova peça direção em vetor unitário).
O comprimento de \bigl(1,4\bigr) é
\sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}.
O vetor unitário na mesma direção é
\left(\dfrac{1}{\sqrt{17}},\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right).

Resposta

\,(1,4)
\displaystyle \left(\dfrac{1}{\sqrt{17}},\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)

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