Questão 93: Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor normal à curva
no próprio ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e a curva
. Pede-se a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor normal à curva no próprio ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- Função:
. - Ponto:
. - Curva:
. - Pedido: derivada direcional de
em na direção do vetor normal à curva em .
Passo 2
Como obter um vetor normal à curva implícita
?
Para uma curva dada por constante, o vetor gradiente
é perpendicular à curva (ou seja, é um vetor normal). Aqui basta definir
Para uma curva dada por
então
No ponto
esse vetor normal vale
Breve explicação do porquê:
aponta na direção de maior variação de
e as curvas de nível
constante (como
) são ortogonais a essa direção, por isso
é normal à curva.
Passo 3
A derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada. Se temos um vetor qualquer
, o correspondente vetor unitário é
onde
é a norma euclidiana de
. Para
temos
Logo o vetor unitário na direção do normal é
Passo 4
Agora a fórmula da derivada direcional: se
é diferenciável, a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é
isto é, o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário
.
Aqui
onde
e
são as derivadas parciais de
. Essa fórmula vem da linearização de
e da definição de derivada direcional como taxa de variação ao longo da direção
.
Passo 5
Calcular o gradiente de
. Como
, as derivadas parciais são
Portanto
No ponto
temos
e
, então
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
Interpretação rápida e motivadora: o resultado zero significa que, naquele ponto,
não muda (na primeira ordem) ao mover-se na direção normal à circunferência; geometricamente isso ocorre porque
é ortogonal ao vetor normal
, ou seja,
está tangente à curva naquele ponto.