Questão 93: Calcule a derivada direcional de f(x, y)=e^{x+y} no ponto P(1,-1) na direção do vetor normal à curva x^{2}+y^{2}=2 no próprio ponto P.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{x+y}, o ponto P(1,-1) e a curva x^{2}+y^{2}=2. Pede-se a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor normal à curva no próprio ponto P.
Informações relevantes fornecidas:
  • Função: f(x,y)=e^{x+y}.
  • Ponto: P=(1,-1).
  • Curva: x^{2}+y^{2}=2.
  • Pedido: derivada direcional de f em P na direção do vetor normal à curva x^{2}+y^{2}=2 em P.

Passo 2

Como obter um vetor normal à curva implícita x^{2}+y^{2}=2?
Para uma curva dada por g(x,y)= constante, o vetor gradiente \nabla g(x,y) é perpendicular à curva (ou seja, é um vetor normal). Aqui basta definir
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-2,
então
\nabla g(x,y)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y}\right)=(2x,2y).
No ponto P(1,-1) esse vetor normal vale
\nabla g(1,-1)=(2\cdot1,2\cdot(-1))=(2,-2).
Breve explicação do porquê: \nabla g aponta na direção de maior variação de g e as curvas de nível g= constante (como x^{2}+y^{2}=2) são ortogonais a essa direção, por isso \nabla g é normal à curva.

Passo 3

A derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada. Se temos um vetor qualquer v, o correspondente vetor unitário é
u=\frac{v}{\|v\|},
onde \|v\| é a norma euclidiana de v. Para v=(2,-2) temos
\|v\|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Logo o vetor unitário na direção do normal é
u=\frac{(2,-2)}{2\sqrt{2}}=\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Agora a fórmula da derivada direcional: se f é diferenciável, a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário u é
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
isto é, o produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário u.
Aqui \nabla f=(f_x,f_y) onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. Essa fórmula vem da linearização de f e da definição de derivada direcional como taxa de variação ao longo da direção u.

Passo 5

Calcular o gradiente de f. Como f(x,y)=e^{x+y}, as derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x+y},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=e^{x+y}.
Portanto
\nabla f(x,y)=(e^{x+y},e^{x+y}).
No ponto P(1,-1) temos x+y=1+(-1)=0 e e^{0}=1, então
\nabla f(1,-1)=(1,1).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
D_{u}f(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot u=(1,1)\cdot\frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot1+1\cdot(-1)}{\sqrt{2}}=\frac{1-1}{\sqrt{2}}=0.
Interpretação rápida e motivadora: o resultado zero significa que, naquele ponto, f não muda (na primeira ordem) ao mover-se na direção normal à circunferência; geometricamente isso ocorre porque \nabla f(1,-1)=(1,1) é ortogonal ao vetor normal (2,-2), ou seja, \nabla f está tangente à curva naquele ponto.

Resposta

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