Questão 94: Ache a derivada direcional de f(x, y)=x y na origem na direção tangente à parábola y=x^{2}+x em x=0.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x y no ponto origem (0,0) na direção tangente à parábola y=x^{2}+x em x=0.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x y.
  • A curva é y=x^{2}+x.
  • O ponto onde se calcula a derivada direcional é a origem (0,0) (porque y(0)=0^{2}+0=0).
  • A direção pedida é a direção do vetor tangente à curva y=x^{2}+x no ponto com abscissa x=0.
O que se deve encontrar: o valor numérico da derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor tangente à parábola no ponto indicado.

Passo 2

Achar o vetor tangente à parábola em x=0.
A equação da parábola é y=x^{2}+x. A inclinação (derivada) \dfrac{dy}{dx} ao longo da curva é
\frac{dy}{dx}=2x+1.
Avalia em x=0:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=2\cdot 0+1=1.
Isso significa que a reta tangente tem coeficiente angular 1. Um vetor tangente conveniente é
\mathbf{v}=(1,1),
pois ele tem componente horizontal 1 e componente vertical igual à inclinação 1. Qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{v} representa a mesma direção. Para usar na definição padrão da derivada direcional precisamos do vetor unitário. O vetor unitário na direção de \mathbf{v} é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{(1,1)}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Relembrar o que é derivada direcional e como calculá-la.
Definição (forma limite): para uma função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} diferenciável no ponto \mathbf{p} e um vetor unitário \mathbf{u}, a derivada direcional de f em \mathbf{p} na direção \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=\lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{p}+t\mathbf{u})-f(\mathbf{p})}{t}.
Teorema prático (quando f é diferenciável): a derivada direcional pode ser obtida usando o gradiente:
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=\nabla f(\mathbf{p})\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(\mathbf{p}) é o vetor gradiente de f em \mathbf{p} e \cdot é o produto escalar. O gradiente é formado pelas derivadas parciais:
\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Aqui f(x,y)=x y, que é polinomial (logo diferenciável em todo \mathbb{R}^2), então podemos usar a relação do gradiente com segurança.

Passo 4

Calcular o gradiente de f e avaliá‑lo na origem.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=(y,x).
Avalia em (0,0):
\nabla f(0,0)=(0,0).
Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional:
D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot\mathbf{u}=(0,0)\cdot\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}=0.
Assim, a derivada direcional vale 0.

Passo 5

Verificação alternativa usando a definição por limite (útil para a prova caso o examinador espere a verificação direta).
Tomamos \mathbf{u}=\dfrac{(1,1)}{\sqrt{2}}. Então
f\big((0,0)+t\mathbf{u}\big)=f\!\left(\frac{t}{\sqrt{2}},\frac{t}{\sqrt{2}}\right)=\frac{t}{\sqrt{2}}\cdot\frac{t}{\sqrt{2}}=\frac{t^{2}}{2}.
A razão incremental é
\frac{f((0,0)+t\mathbf{u})-f(0,0)}{t}=\frac{\tfrac{t^{2}}{2}-0}{t}=\frac{t}{2}.
Fazendo t\to 0 obtemos limite 0. Portanto a derivada direcional é 0, consistente com o cálculo via gradiente.

Passo 6

Resumo prático (dica de prova): para encontrar derivada direcional na direção tangente a uma curva em um ponto, calcule a derivada da curva para obter o vetor tangente (1,y'), normalize para obter \mathbf{u} e use \nabla f(p)\cdot \mathbf{u} — ou aplique a definição por limite se preferir provar diretamente.

Resposta

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