Questão 94: Ache a derivada direcional de f(x, y)=x y na origem na direção tangente à parábola y=x^{2}+x em x=0.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x y no ponto origem (0,0) na direção tangente à parábola y=x^{2}+x em x=0.
Informações dadas:
A função é f(x,y)=x y.
A curva é y=x^{2}+x.
O ponto onde se calcula a derivada direcional é a origem (0,0) (porque y(0)=0^{2}+0=0).
A direção pedida é a direção do vetor tangente à curva y=x^{2}+x no ponto com abscissa x=0.
O que se deve encontrar: o valor numérico da derivada direcional de f em (0,0) na direção do vetor tangente à parábola no ponto indicado.
Passo 2
Achar o vetor tangente à parábola em x=0.
A equação da parábola é y=x^{2}+x. A inclinação (derivada) \dfrac{dy}{dx} ao longo da curva é
\frac{dy}{dx}=2x+1.
Avalia em x=0:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=2\cdot 0+1=1.
Isso significa que a reta tangente tem coeficiente angular 1. Um vetor tangente conveniente é
\mathbf{v}=(1,1),
pois ele tem componente horizontal 1 e componente vertical igual à inclinação 1. Qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{v} representa a mesma direção. Para usar na definição padrão da derivada direcional precisamos do vetor unitário. O vetor unitário na direção de \mathbf{v} é
Relembrar o que é derivada direcional e como calculá-la.
Definição (forma limite): para uma função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} diferenciável no ponto \mathbf{p} e um vetor unitário \mathbf{u}, a derivada direcional de f em \mathbf{p} na direção \mathbf{u} é
Fazendo t\to 0 obtemos limite 0. Portanto a derivada direcional é 0, consistente com o cálculo via gradiente.
Passo 6
Resumo prático (dica de prova): para encontrar derivada direcional na direção tangente a uma curva em um ponto, calcule a derivada da curva para obter o vetor tangente (1,y'), normalize para obter \mathbf{u} e use \nabla f(p)\cdot \mathbf{u} — ou aplique a definição por limite se preferir provar diretamente.