Questão 95: Determine a derivada direcional de
em
na direção da reta tangente à curva
no ponto (
).
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função
. - O ponto
. - A direção é a da reta tangente à curva
no ponto .
O que se pede:
- Determinar a derivada direcional de
em na direção indicada (direção da tangente à curva).
Passo 2
O que é a derivada direcional e como vamos calculá‑la (ideia):
- A derivada direcional de
em na direção de um vetor unitário mede a taxa de variação de quando nos movemos em na direção de . - A fórmula padrão, muito usada na prova, é
onde
é o gradiente de
em
e
é o produto escalar.
- O gradiente
reúne as derivadas parciais; cada componente indica a taxa de variação de quando só uma variável varia. - Observação importante: o vetor de direção usado na fórmula deve ser unitário. Se só for dado um vetor de direção qualquer
, primeiro normaliza‑se: .
Passo 3
Calcular o gradiente de
e avaliá‑lo em
.
- Repare que
. Então as derivadas parciais são
- Avaliando em
:
Passo 4
Encontrar o vetor diretor da reta tangente à curva
no ponto dado.
- Uma forma simples é parametrizar a curva por
. A derivada é
- Em
obtemos o vetor tangente
Esse
indica a direção da reta tangente. Lembre que ainda precisamos de um vetor unitário para usar na fórmula da derivada direcional.
Passo 5
Normalizar o vetor direção
.
- Norma de
:
- Vetor unitário na direção de
:
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando
.
- Produto escalar:
- Comentário pedagógico rápido: se alguém calcular
com vai obter ; esse valor é . Para transformar em derivada por unidade de comprimento (o que se pede normalmente), divide‑se por , obtendo exatamente .