Questão 95: Determine a derivada direcional de f(x, y)=\ln (x y) em P(1, e) na direção da reta tangente à curva y=e^{x} no ponto ( 1, e ).

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função f(x,y)=\ln(xy).
  • O ponto P(1,e).
  • A direção é a da reta tangente à curva y=e^{x} no ponto (1,e).
O que se pede:
  • Determinar a derivada direcional de f em P(1,e) na direção indicada (direção da tangente à curva).

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos calculá‑la (ideia):
  • A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u mede a taxa de variação de f quando nos movemos em P na direção de u.
  • A fórmula padrão, muito usada na prova, é
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e \cdot é o produto escalar.
  • O gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y) reúne as derivadas parciais; cada componente indica a taxa de variação de f quando só uma variável varia.
  • Observação importante: o vetor de direção usado na fórmula deve ser unitário. Se só for dado um vetor de direção qualquer v, primeiro normaliza‑se: u=v/\|v\|.

Passo 3

Calcular o gradiente de f e avaliá‑lo em P(1,e).
  • Repare que \ln(xy)=\ln x+\ln y. Então as derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}.
  • Avaliando em P(1,e):
\nabla f(1,e)=\left(\frac{1}{1},\;\frac{1}{e}\right)=(1,\;1/e).

Passo 4

Encontrar o vetor diretor da reta tangente à curva y=e^{x} no ponto dado.
  • Uma forma simples é parametrizar a curva por r(t)=(t,\;e^{t}). A derivada é
r'(t)=(1,\;e^{t}).
  • Em t=1 obtemos o vetor tangente
v=r'(1)=(1,\;e).
Esse v indica a direção da reta tangente. Lembre que ainda precisamos de um vetor unitário para usar na fórmula da derivada direcional.

Passo 5

Normalizar o vetor direção v=(1,e).
  • Norma de v:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+e^{2}}=\sqrt{1+e^{2}}.
  • Vetor unitário na direção de v:
u=\frac{v}{\|v\|}=\frac{(1,e)}{\sqrt{1+e^{2}}}.

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando \;D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
  • Produto escalar:
\nabla f(1,e)\cdot u = (1,\;1/e)\cdot\frac{(1,e)}{\sqrt{1+e^{2}}} =\frac{1\cdot 1 + \tfrac{1}{e}\cdot e}{\sqrt{1+e^{2}}} =\frac{1+1}{\sqrt{1+e^{2}}} =\frac{2}{\sqrt{1+e^{2}}}.
  • Comentário pedagógico rápido: se alguém calcular d/dt\big|_{t=1} f(r(t)) com r(t)=(t,e^{t}) vai obter 2; esse valor é \nabla f(1,e)\cdot v. Para transformar em derivada por unidade de comprimento (o que se pede normalmente), divide‑se por \|v\|, obtendo exatamente 2/\sqrt{1+e^{2}}.

Resposta

\dfrac{2}{\sqrt{1+e^{2}}}

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