A questão 6 é aberta. JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUAS RESPOSTAS. Derive:
(b) g(x)=\left(e^{x}+\sqrt{x}\right) \operatorname{tg} x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Foi dada a função \;g(x)=\bigl(e^{x}+\sqrt{x}\bigr)\operatorname{tg}x\; e o pedido é calcular a derivada de g.
  • Informações relevantes que o enunciado dá (ou implica):
    • A função é produto de duas funções: u(x)=e^{x}+\sqrt{x} e v(x)=\operatorname{tg}x.
    • A raiz quadrada impõe que a função só está definida para x\ge 0.
    • \operatorname{tg}x (tan) tem descontinuidades quando \cos x=0, isto é, em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Objetivo final: obter uma expressão para g'(x), e observar onde essa expressão é válida.

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda):
  • Como g é produto de u e v, o caminho natural é aplicar a regra do produto: derivada de u\cdot v é u'v+uv'.
  • Para isso precisamos das derivadas de u(x)=e^{x}+\sqrt{x} e de v(x)=\operatorname{tg}x. Vamos calcular cada uma com calma.

Passo 3

Regra do produto (afinal, como aplicar na prova):
  • Regra do produto: seja u(x) e v(x) duas funções diferenciáveis num ponto; então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  • Aqui identificamos u(x)=e^{x}+\sqrt{x} e v(x)=\operatorname{tg}x. Agora calculamos u'(x) e v'(x).

Passo 4

Derivada de u(x)=e^{x}+\sqrt{x}:
  • Derivada de \;e^{x} é \;e^{x}. (Propriedade básica: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.)
  • Escrever \sqrt{x}=x^{1/2}. Aplicando a regra do poder (power rule): se \;h(x)=x^{n} então \;h'(x)=n x^{n-1}. Assim,
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Portanto
u'(x)=e^{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Observação sobre x=0: a expressão \dfrac{1}{2\sqrt{x}} não está definida em x=0, então u'(0) não existe pelo cálculo direto desta fórmula. Mas isso não impede verificarmos a derivabilidade de g em 0 por outro método (veremos adiante).

Passo 5

Derivada de v(x)=\operatorname{tg}x: (ensino rápido da derivada da tangente)
  • Recordando que \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Usando a regra do quociente (ou uma identidade) temos
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
  • Portanto
v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x},
válido quando \cos x\neq 0 (ou seja, fora de x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi).

Passo 6

Aplicação direta da regra do produto e simplificação:
  • Usando \;g(x)=u(x)v(x) e a regra do produto,
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  • Substituindo u'(x)=e^{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, v(x)=\operatorname{tg}x, u(x)=e^{x}+\sqrt{x} e v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x, obtemos
g'(x)=\left(e^{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\operatorname{tg}x+\left(e^{x}+\sqrt{x}\right)\operatorname{sec}^{2}x.
  • Esta é a forma prática e já bastante simplificada. Se quiser, pode escrever \operatorname{sec}^{2}x como \dfrac{1}{\cos^{2}x}.

Passo 7

Comentários sobre domínio e sobre x=0:
  • A expressão acima foi obtida usando a derivada de \sqrt{x}, que exige x>0; também usamos \operatorname{sec}^{2}x que exige \cos x\neq 0. Portanto a fórmula é válida para todos os x tais que
x>0\quad\text{e}\quad \cos x\neq 0\quad(\text{i.e. }x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi).
  • Sobre o ponto x=0: a fórmula direta não se aplica (porque aparece \tfrac{1}{2\sqrt{x}}). No entanto, a derivada de g em 0 pode ser calculada pelo limite:
g'(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{g(h)-g(0)}{h} =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{(e^{h}+\sqrt{h})\tan h}{h}.
Como \lim_{h\to 0}\dfrac{\tan h}{h}=1 e \lim_{h\to 0}e^{h}=1 e \lim_{h\to 0}\sqrt{h}=0, resulta
g'(0)=1\cdot 1 + 0 = 1.
Logo g é diferenciável em 0 e g'(0)=1. (Para x<0 a função nem está definida por causa de \sqrt{x}.)
  • Em pontos onde \cos x=0 (as assíntotas da tangente) a função não está definida, logo não se fala em derivada aí.

Resposta

g'(x)=\left(e^{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\operatorname{tg}x+\left(e^{x}+\sqrt{x}\right)\operatorname{sec}^{2}x,\qquad x>0,\\ \cos x\neq 0
g'(0)=1

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