A questão 6 é aberta. JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUAS RESPOSTAS. Derive:
(b)
(b)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Foi dada a função
e o pedido é calcular a derivada de . - Informações relevantes que o enunciado dá (ou implica):
- A função é produto de duas funções:
e . - A raiz quadrada impõe que a função só está definida para
. -
(tan) tem descontinuidades quando , isto é, em , .
- A função é produto de duas funções:
- Objetivo final: obter uma expressão para
, e observar onde essa expressão é válida.
Passo 2
Escolha do método (sem resolver ainda):
- Como
é produto de e , o caminho natural é aplicar a regra do produto: derivada de é . - Para isso precisamos das derivadas de
e de . Vamos calcular cada uma com calma.
Passo 3
Regra do produto (afinal, como aplicar na prova):
- Regra do produto: seja
e duas funções diferenciáveis num ponto; então
- Aqui identificamos
e . Agora calculamos e .
Passo 4
Derivada de
:
- Derivada de
é . (Propriedade básica: .) - Escrever
. Aplicando a regra do poder (power rule): se então . Assim,
- Portanto
- Observação sobre
: a expressão não está definida em , então não existe pelo cálculo direto desta fórmula. Mas isso não impede verificarmos a derivabilidade de em por outro método (veremos adiante).
Passo 5
Derivada de
: (ensino rápido da derivada da tangente)
- Recordando que
. Usando a regra do quociente (ou uma identidade) temos
- Portanto
válido quando
(ou seja, fora de
).
Passo 6
Aplicação direta da regra do produto e simplificação:
- Usando
e a regra do produto,
- Substituindo
, , e , obtemos
- Esta é a forma prática e já bastante simplificada. Se quiser, pode escrever
como .
Passo 7
Comentários sobre domínio e sobre
:
- A expressão acima foi obtida usando a derivada de
, que exige ; também usamos que exige . Portanto a fórmula é válida para todos os tais que
- Sobre o ponto
: a fórmula direta não se aplica (porque aparece ). No entanto, a derivada de em pode ser calculada pelo limite:
Como
e
e
, resulta
Logo
é diferenciável em
e
. (Para
a função nem está definida por causa de
.)
- Em pontos onde
(as assíntotas da tangente) a função não está definida, logo não se fala em derivada aí.