QUESTÃO 1: Verificar se as equações diferenciais abaixo são exatas ou não. Determine também a solução das mesmas em cada caso. (Valor: 1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado nos dá a forma diferencial
ou seja,
e
.
Conteúdo: equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos primeiro testar exatidão e, se não for exata, buscar um fator integrante.
Conteúdo: equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos primeiro testar exatidão e, se não for exata, buscar um fator integrante.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
função só de
. Verificamos
que depende apenas de
. Logo
satisfaz
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Agora
logo é exata.
Passo 5
Existe função potencial
tal que
Integrando em
:
Para determinar
, impomos
Passo 6
A solução implícita é
com
constante arbitrária.