QUESTÃO 1: Verificar se as equações diferenciais abaixo são exatas ou não. Determine também a solução das mesmas em cada caso. (Valor: 1,5 ponto)
yx d x+(y^3-log x) d y

Passo 1

O enunciado nos dá a forma diferencial
yx,dx + l(y^3 - ln xr),dy = 0
ou seja, M(x,y)=yx e N(x,y)=y^3-ln x.
Conteúdo: equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos primeiro testar exatidão e, se não for exata, buscar um fator integrante.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais
partial Mpartial y =partialpartial yl(yxr) =1x, partial Npartial x =partialpartial xl(y^3-ln xr) =-1x
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu função só de y. Verificamos
partial Npartial x-partial Mpartial yM =-tfrac1x-tfrac1xtfracyx =-2/xy/x =-2y,
que depende apenas de y. Logo mu satisfaz
dmumu=-2y,dy Longrightarrow lnmu=-2ln y Longrightarrow mu(y)=y^-2

Passo 4

Multiplicando a equação original por y^-2, obtemos
M^*(x,y)=1x,y, N^*(x,y)=y-ln xy^2
Agora
partial M^*partial y =-1x,y^2, partial N^*partial x =-1x,y^2,
logo é exata.

Passo 5

Existe função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x =M^*(x,y)=1x,y
Integrando em x:
psi(x,y)=integral1x,y,dx =ln xy+h(y)
Para determinar h(y), impomos
partial psipartial y =-ln xy^2+h'(y) = N^*(x,y) =y-ln xy^2 ;Longrightarrow; h'(y)=y ;Longrightarrow; h(y)=y^22

Passo 6

A solução implícita é
psi(x,y) =ln xy+y^22 =C,
com C constante arbitrária.

Resposta

ln xy+y^22=C

Exercícios relacionados