Questão 1. Ache uma equação do plano que contenha os pontos P=(3,4,1), Q=(1,7,1) e R=(-1,-2,5).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos P=(3,4,1), Q=(1,7,1) e R=(-1,-2,5). Vamos usar geometria vetorial: calcular dois vetores diretores do plano, obter o vetor normal via produto vetorial e, por fim, montar a equação do plano.

Passo 2

Escolhemos como vetores diretores do plano
PQ = Q - P = (1-3,;7-4,;1-1) = (-2,;3,;0),
PR = R - P = (-1-3,;-2-4,;5-1) = (-4,;-6,;4)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = PQtimesPR = i & j & k -2 & 3 & 0 -4 & -6 & 4 = (12,;8,;24)
Podemos simplificar dividindo por 4 e obter n=(3,2,6).

Passo 4

Seja n=(3,2,6). A equação vetorial do plano passando por P=(3,4,1) e com normal n é
3(x-3)+2(y-4)+6(z-1)=0
Desenvolvendo,
3x-9 +2y-8 +6z-6 = 0
3x +2y +6z -23 = 0

Resposta

A equação do plano é
3x + 2y + 6z -23 = 0

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