Use somas de Riemann para encontrar a área da região R que é a região limitada pelo gráfico da função f, o exito- x, e as retas x=a e x=b, onde:
f(x)=1+x,[a . b]=[1,3]

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelo gráfico de f(x)=1+x, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=3. Para isso vamos usar a definição de integral como limite de somas de Riemann no intervalo [1,3].

Passo 2

Dividimos [1,3] em n subintervalos de largura igual. A largura de cada subintervalo é
\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{3-1}{n} = \frac{2}{n}.

Passo 3

Escolhemos como ponto de amostragem o extremo direito de cada subintervalo. Então, para i=1,2,\dots,n,
x_i = a + i\,\Delta x = 1 + i\,\frac{2}{n}.
O valor da função nesses pontos é
f(x_i) = 1 + x_i = 1 + \Bigl(1 + \frac{2i}{n}\Bigr) = 2 + \frac{2i}{n}.

Passo 4

A soma de Riemann associada é
S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^n \Bigl(2 + \frac{2i}{n}\Bigr)\frac{2}{n}.

Passo 5

Separamos em duas somas:
S_n = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^n 2 \;+\;\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n \frac{2i}{n}.
Calculamos cada parte:
\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n 2 = \frac{2}{n}\cdot 2n = 4,
\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n \frac{2i}{n} = \frac{4}{n^2}\sum_{i=1}^n i = \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{2(n+1)}{n}.
Logo,
S_n = 4 + \frac{2(n+1)}{n} = 4 + 2 + \frac{2}{n} = 6 + \frac{2}{n}.

Passo 6

Tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(6 + \frac{2}{n}\Bigr) = 6.

Resposta

A área da região R é 6.

Exercícios relacionados