Questão 5. Ache a solução geral das EDO’s:
y^prime=(tg x) y+cos (x)(

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y' = tan x,y + cos x
Este é um caso clássico de equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x)
Subtraindo tan x,y de ambos os lados, obtemos
y' - tan x,y = cos x,
ou seja, P(x) = -tan x e Q(x)=cos x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -tan x,dxr) = expl(ln(cos x)r) = cos x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=cos x:
cos x,y' - cos x,tan x,y = cos xcdotcos x Longrightarrow cos x,y' - sin x,y = cos^2 x
O lado esquerdo é justamente a derivada de cos x,y, pois
ddxl(cos x,yr) = cos x,y' - sin x,y

Passo 5

Assim chegamos a
ddxl(cos x,yr) = cos^2 x
Integramos em relação a x:
cos x,y = integral cos^2 x,dx + C = integral 1+cos(2x)2,dx + C = x2 + sin(2x)4 + C

Passo 6

Isolando y,
y = x2 + sin(2x)4 + Ccos x

Passo 7

Para simplificar, note que
sin(2x)4cos x = 2sin xcos x4cos x = sin x2
Logo a solução fica
y = x2cos x + sin x2 + C,sec x

Resposta

y = x2cos x + sin x2 + C,sec x,
onde C é constante arbitrária.

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