Questão 5. Ache a solução geral das EDO’s:
y^prime+yx=-x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para achar a solução geral da EDO:
y^prime + yx = -x y^2
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente um tipo chamado Equação de Bernoulli. Vamos precisar usar uma substituição especial para transformar essa equação em algo que a gente consiga resolver mais facilmente. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A dada é:
y^prime + P(x) y = Q(x) y^n
Comparando com a nossa equação:
y^prime + yx = -x y^2
Vemos que P(x) = 1x , Q(x) = -x e n = 2 . Isso confirma que estamos lidando com uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral acima.

Passo 3

Nas Equações de Bernoulli, para facilitar a resolução, fazemos uma substituição. Definimos:
v = y^1 - n
No nosso caso, n = 2 , então:
v = y^1 - 2 = y^-1 = 1y
Agora, vamos achar a derivada de v em relação a x .

Passo 4

Calculando a derivada de v :
v = 1y v^prime = -y^primey^2
Vamos rearranjar a equação original para expressar y^prime :
y^prime = -yx - x y^2
Substituindo na expressão de v^prime :
v^prime = --yx - x y^2y^2 = yx y^2 + x = 1x y + x
Lembrando que v = 1y , então:
v^prime = vx + x

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em v :
v^prime - vx = x
Para resolver essa equação, vamos usar o Fator Integrante. Primeiro, identificamos P(x) = -1x .
O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -1x dx = e^-ln|x| = 1x

Passo 6

Multiplicando toda a equação pela mu(x) = 1x :
1x v^prime - vx^2 = 1
A esquerda agora é a derivada de mu(x) v :
ddx ( vx ) = 1
Integrando ambos os lados em relação a x :
vx = integral 1 , dx = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para v :
v = x(x + C) = x^2 + Cx
Lembrando que v = 1y , então:
1y = x^2 + Cx y = 1x^2 + Cx

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y = 1x^2 + Cx
Onde C é uma constante arbitrária.

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