Questão 5. Ache a solução geral das EDO’s:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para achar a solução geral da EDO:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente um tipo chamado Equação de Bernoulli. Vamos precisar usar uma substituição especial para transformar essa equação em algo que a gente consiga resolver mais facilmente. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A dada é:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
,
e
. Isso confirma que estamos lidando com uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral acima.
Passo 3
Nas Equações de Bernoulli, para facilitar a resolução, fazemos uma substituição. Definimos:
No nosso caso,
, então:
Agora, vamos achar a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Vamos rearranjar a equação original para expressar
:
Substituindo na expressão de
:
Lembrando que
, então:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver essa equação, vamos usar o Fator Integrante. Primeiro, identificamos
.
O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicando toda a equação pela
:
A esquerda agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante arbitrária.