Questão 6. Resolva as EDO’s:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) pra resolver:
Essa equação envolve derivadas e relaciona as variáveis
e
. Para resolver, vamos usar o método das equações exatas, que nos ajuda a encontrar uma função que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma EDO exata:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente verifica se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja,
.
Calculando:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando:
Isso implica que:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, juntando tudo, a função potencial
fica:
Como a solução geral da EDO é dada por
, temos:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante real.