Questão 6. Resolva as EDO’s:
(3 x^2+6 x y^2)+(6 x^2 y+4 y^3) y^prime=0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) pra resolver:
(3 x^2+6 x y^2)+(6 x^2 y+4 y^3) y^prime=0
Essa equação envolve derivadas e relaciona as variáveis x e y . Para resolver, vamos usar o método das equações exatas, que nos ajuda a encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma EDO exata:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
Aqui, identificamos:
M(x, y) = 3x^2 + 6x y^2
N(x, y) = 6x^2 y + 4y^3

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente verifica se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x . Ou seja, My = Nx .
Calculando:
My = partialpartial y(3x^2 + 6x y^2) = 12x y
Nx = partialpartial x(6x^2 y + 4y^3) = 12x y
Como My = Nx , a equação é exata. Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y)
partial Fpartial y = N(x, y)

Passo 4

Vamos encontrar F(x, y) integrando M(x, y) em relação a x :
F(x, y) = integral (3x^2 + 6x y^2) dx = x^3 + 3x^2 y^2 + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende só de y .

Passo 5

Agora, vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N(x, y) :
Fy = partialpartial y(x^3 + 3x^2 y^2 + h(y)) = 6x^2 y + h'(y)
N(x, y) = 6x^2 y + 4y^3
Igualando:
6x^2 y + h'(y) = 6x^2 y + 4y^3
Isso implica que:
h'(y) = 4y^3

Passo 6

Integrando h'(y) em relação a y :
h(y) = integral 4y^3 dy = y^4 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, juntando tudo, a função potencial F(x, y) fica:
F(x, y) = x^3 + 3x^2 y^2 + y^4 + C
Como a solução geral da EDO é dada por F(x, y) = constante , temos:

Resposta

A solução geral da equação é:
x^3 + 3x^2 y^2 + y^4 = C
Onde C é uma constante real.

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