Questão 2. Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
d yd t-(sin (t)) y=2 sin (t), y(pi2)=1

Passo 1

O enunciado dá o PVI
dydt - sin(t),y = 2sin(t), yl(tfracpi2r)=1
Este é um EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para resolvê-lo e depois aplicar a condição inicial. Em seguida discutimos o maior intervalo em que a solução existe.

Passo 2

Identificamos p(t)=-sin(t). O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral p(t),dtr) = exp!l(integral -sin(t),dtr) = expl(cos(t)r)

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
e^cos(t)dydt - sin(t),e^cos(t)y = 2sin(t),e^cos(t)
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddtl(e^cos(t)yr) = 2sin(t),e^cos(t)

Passo 4

Integramos em t:
e^cos(t)y = integral 2sin(t),e^cos(t),dt = integral -2,e^u,du + C l(u=cos(t),,du=-sin(t),dtr)
e^cos(t)y = -2e^cos(t) + C Longrightarrow y = -2 + C,e^-cos(t)

Passo 5

Aplicando yl(tfracpi2r)=1 e sabendo que cos(tfracpi2)=0, temos
1 = -2 + C,e^0 Longrightarrow C = 3
Logo a solução é
y(t) = -2 + 3,e^-cos(t)

Passo 6

Como sin(t) e cos(t) são contínuas em todo R e o fator integrante nunca zera, a solução existe e é única para todo tinR. Portanto o maior intervalo de definição é R.

Resposta

A solução é
y(t) = -2 + 3,e^-cos(t),
definida para todo tin(-infty,infty).

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