Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
d yd t=5 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: d yd t=5 y. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, que envolvem a taxa de variação de uma função y(t) em relação a t. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica legal para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e t. A equação é:
d yd t = 5 y
Podemos reescrever isso como:
d yy = 5 , d t
Aqui, dividimos ambos os lados por y para isolar d yy de um lado e 5 , d t do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de 1y , d y em relação a y é ln |y|, e a integral de 5 , d t em relação a t é 5 t. Então, temos:
integral 1y , d y = integral 5 , d t
Isso resulta em:
ln |y| = 5 t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para y, vamos exponentiar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo natural:
e^ln |y| = e^5 t + C
Sabemos que e^ln |y| = |y| e que e^5 t + C = e^5 t cdot e^C. Como e^C é apenas uma constante (vamos chamar de K), temos:
|y| = K e^5 t
Podemos remover o valor absoluto e incorporar o sinal na constante K, ficando:
y = K e^5 t

Passo 5

Então, a solução geral da equação diferencial d yd t=5 y é:
y(t) = K e^5 t
Onde K é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Passo 6

Agora, vamos determinar o maior intervalo onde essa solução está definida. A função exponencial e^5 t está definida para todos os números reais t, e como K é uma constante real, a solução y(t) = K e^5 t também está definida para todo t in R.

Resposta

A solução geral da equação d yd t=5 y é y(t) = K e^5 t, onde K é uma constante real. Essa solução está definida para todo número real t, ou seja, para t in R.

Exercícios relacionados