Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, que envolvem a taxa de variação de uma função
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica legal para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. A equação é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, dividimos ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então, temos:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver para
, vamos exponentiar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo natural:
Sabemos que
e que
. Como
é apenas uma constante (vamos chamar de
), temos:
Podemos remover o valor absoluto e incorporar o sinal na constante
, ficando:
Passo 5
Então, a solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Passo 6
Agora, vamos determinar o maior intervalo onde essa solução está definida. A função exponencial
está definida para todos os números reais
, e como
é uma constante real, a solução
também está definida para todo
.
Resposta
A solução geral da equação
é
, onde
é uma constante real. Essa solução está definida para todo número real
, ou seja, para
.