Questão 4. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso significa que primeiro vamos achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea
.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
Procuramos uma solução do tipo
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica
Resolvendo-a, temos
ou seja
e
. Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, assumimos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas
e substituímos na equação original:
Isso dá
Comparando coeficientes de
e termos independentes:
Logo,
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular: