Questão 4. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+y^prime-6 y=2 t

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
y'' + y' - 6y = 2t
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso significa que primeiro vamos achar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea 2t.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + y' - 6y = 0
Procuramos uma solução do tipo y=e^rt. Substituindo na equação, obtemos a equação característica
r^2 + r - 6 = 0
Resolvendo-a, temos
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52,
ou seja r=2 e r=-3. Logo, a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp(t) para
y'' + y' - 6y = 2t
Como o termo à direita é um polinômio de grau 1, assumimos
yp(t) = A t + B,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas
yp' = A, yp'' = 0,
e substituímos na equação original:
0 + A - 6,(A t + B) = 2t
Isso dá
-6A,t + (A - 6B) = 2t + 0
Comparando coeficientes de t e termos independentes:
-6A = 2 Longrightarrow A = -tfrac13,
A - 6B = 0 Longrightarrow -tfrac13 - 6B = 0 Longrightarrow B = -tfrac118
Logo,
yp(t) = -tfrac13,t - tfrac118

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t - tfrac13,t - tfrac118

Resposta

y(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t - 13,t - 118

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