Questão 4. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-2 y^prime+2 y=e^2 t(cos t-3 sin t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' - 2y' + 2y = e^2t(cos t - 3sin t)
usando o método dos coeficientes a determinar, ou seja, vamos achar a solução geral como
y(t) = yh(t) + yp(t),
onde yh é a solução da homogênea associada e yp é uma solução particular.

Passo 2

Para obter yh, resolvemos a equação característica
r^2 - 2r + 2 = 0
As raízes são
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot22 = 1 pm i
Logo
yh(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr),
com C1, C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para o termo forçante e^2t(cos t - 3sin t), propomos uma solução particular da forma
yp(t) = e^2tl(acos t + bsin tr),
pois não há ressonância com as raízes 1pm i.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp. Seja
Y(t) = acos t + bsin t
Então
yp = e^2tY, yp' = e^2tl(2Y + Y'r), yp'' = e^2tl(4Y + 4Y' + Y''r)
Como Y' = -asin t + bcos t e Y'' = -acos t - bsin t, obtemos
yp' = e^2tl((2a + b)cos t + (2b - a)sin tr),
yp'' = e^2tl((3a + 4b)cos t + (-4a + 3b)sin tr)

Passo 5

Substituímos em y'' - 2y' + 2y. O lado esquerdo torna-se
e^2tl[(3a+4b)cos t +(-4a+3b)sin tr] -2e^2tl[(2a+b)cos t+(2b-a)sin tr] +2e^2tl[acos t + bsin tr]
Reagrupando em cos t e sin t, fica
e^2tl[(a+2b)cos t +(-2a+b)sin tr]
Isso deve igualar e^2t(cos t - 3sin t), portanto
a + 2b = 1, -2a + b = -3

Passo 6

Resolvendo o sistema
a + 2b = 1, -2a + b = -3,
temos b = -tfrac15 e a = tfrac75. Assim
yp(t) = e^2tl(tfrac75cos t - tfrac15sin tr)

Resposta

boxedy(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr) + e^2tl(tfrac75cos t - tfrac15sin tr)

Exercícios relacionados