Questão 4. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+2 y^prime+y=sin t+3 cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+2y'+y=sin t+3cos2t
O conteúdo é método dos coeficientes a determinar: vamos escrever a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y''+2y'+y=0
A equação característica é r^2+2r+1=0, ou seja (r+1)^2=0 com raiz dupla r=-1. Logo
yh=C1e^-t+C2,t,e^-t

Passo 3

Para a parte não homogênea usamos o ansatz
yp=yp1+yp2,
onde
yp1=Acos t+Bsin t (para sin t)
e
yp2=Ccos2t+Dsin2t (para 3cos2t)

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp1:
yp1'=-Asin t+Bcos t, yp1''=-Acos t-Bsin t
Substituindo em y''+2y'+y obtemos
2Bcos t-2Asin t
que deve ser igual a 1cdotsin t+0cdotcos t. Assim
2B=0,-2A=1 ;Longrightarrow; B=0,;A=-12
Agora yp2:
yp2'=-2Csin2t+2Dcos2t, yp2''=-4Ccos2t-4Dsin2t
Substituindo em y''+2y'+y
(-3C+4D)cos2t+(-4C-3D)sin2t
que deve igualar 3cos2t+0sin2t. O sistema é
-3C+4D=3, -4C-3D=0
resolvendo: C=-tfrac925, D=tfrac1225.

Passo 5

A solução particular é
yp=-12cos t-925cos2t+1225sin2t
e a geral fica
y=yh+yp =C1e^-t+C2,t,e^-t -12cos t-925cos2t+1225sin2t

Resposta

y=C1e^-t+C2te^-t-12cos t-925cos2t+1225sin2t.

Exercícios relacionados