Questão 5. Resolva as equações de EULER.
4 t^2 y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler homogênea
4,t^2y'' + y = 0
e pede sua solução geral. Em equações de Euler (ou equações de Cauchy–Euler) a ideia é usar a forma tentativa
y = t^m,
pois assim transformamos a EDO em uma equação algébrica para m.

Passo 2

Supondo y = t^m, calculamos as derivadas:
y' = m,t^m-1, y'' = m(m-1),t^m-2

Passo 3

Substituímos y, y'' na equação original:
4,t^2l[m(m-1),t^m-2r] + t^m = 0
o que simplifica para
l(4,m(m-1) + 1r),t^m = 0
Como t^mneq0, vem a equação característica
4,m(m-1) + 1 = 0

Passo 4

Expandindo, obtemos
4,m^2 - 4,m + 1 = 0
O discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot4cdot1 = 16 - 16 = 0,
logo há raiz dupla
m = 42cdot4 = tfrac12

Passo 5

Para raiz dupla m=tfrac12, a solução geral da equação de Euler é
y = C1,t^m + C2,t^mln(t)
Substituindo m=tfrac12, concluímos:

Resposta

y = C1,t^tfrac12 + C2,t^tfrac12ln(t)

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