Questão 3: Seja \mathbf{y}(\mathbf{t}) a solução geral da EDO y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0. O valor de \lim _{\mathbf{t} \rightarrow+\infty} \mathbf{y}(\mathbf{t}) é:
a) -1 \quad; b) -\frac{1}{2} \quad; c) 0 \quad; d) \frac{1}{2} \quad; e) 1.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 2y = 0
e pede o valor de \lim_{t\to+\infty}y(t). Vamos resolver a equação característica para obter a solução geral e então analisar o limite quando t\to+\infty.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + 2r + 2 = 0.
Resolvendo:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i.
Como as raízes são complexas com parte real -1, a solução geral é
y(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Para t\to+\infty temos e^{-t}\to0 e \cos t,\sin t permanecem limitados em [-1,1]. Logo
\lim_{t\to+\infty}y(t) = \lim_{t\to+\infty}e^{-t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr) = 0.

Resposta

c) 0

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