Questão 2: A solução do seguinte P.V.I. \left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right. é:
a) \mathbf{y}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{-\mathrm{t}}(1+2 \mathrm{t}); b) \mathbf{y}(\mathrm{t})=\mathbf{e}^{\mathrm{t}}(1-2 \mathrm{t}); c) \mathbf{y}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{-\mathrm{t}}(1-2 \mathrm{t}); d) \mathbf{y}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{-\mathrm{t}}; e) \mathbf{y}(\mathrm{t})=-1+2 \mathrm{t}.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y'' - 2y' + y = 0,\\\ y(0)=1,\\\ y'(0)=-1, \end{cases}
que é um ODE linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 - 2r + 1 = 0.
Resolvendo, reconhecemos que é um polinômio quadrado perfeito:
(r-1)^2 = 0 \qquad\Rightarrow\qquad r = 1 \text{ (raiz dupla).}

Passo 3

Para uma raiz dupla r=1, a forma geral da solução é
y(t) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,t\bigr)e^{t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos y(0)=1:
y(0) = \bigl(C_{1} + C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0} = C_{1} = 1.
Agora calculamos y'(t):
y'(t) = C_{2}e^{t} + \bigl(C_{1} + C_{2}t\bigr)e^{t} = \bigl(C_{1} + C_{2} + C_{2}t\bigr)e^{t}.
Em t=0 deve valer y'(0)=-1:
y'(0) = (C_{1} + C_{2})e^{0} = C_{1} + C_{2} = -1 \quad\Rightarrow\quad 1 + C_{2} = -1 \quad\Rightarrow\quad C_{2} = -2.

Passo 5

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=-2 na solução geral, vem
y(t) = \bigl(1 - 2t\bigr)e^{t}.
Isso coincide com a alternativa (b).

Resposta

(b)

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