Questão 4. Ache a solução do PVI dado.
t^2 d yd t=y-t y, y(-1)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial (PVI)
t^2,dydt=y - t,y, y(-1)=1
O conteúdo da matéria é equações diferenciais ordinárias separáveis.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação separando as variáveis. Observe que
t^2,dydt=y(1 - t)
implica
dydt =y(1-t)t^2 =y;1-tt^2 =yl(1t^2-1tr)
Agora separamos y de t:
1y,dy =l(1t^2-1tr)dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integrall(1t^2-1tr)dt
No lado esquerdo vem ln|y|. No direito,
integral 1t^2,dt =integral t^-2dt =-1t, integral 1t,dt =ln|t|
Logo
ln|y| =-1t-ln|t| + C

Passo 4

Exponenciando, obtemos a solução geral:
|y| =expl(-1t-ln|t|+Cr) =e^C,e^-1/t|t|
Absorvendo o sinal e e^C numa constante K, escrevemos
y(t) =K,e^-1/tt

Passo 5

Usamos a condição inicial y(-1)=1:
1 =K,e^-1/(-1)-1 =K,e^1-1 =-K,e
Daí K=-tfrac1e. Substituindo em y(t):
y(t) =-1e;e^-1/tt =-1t,e^-1/t-1

Resposta

y(t)=-1t,e^-,l(1+1tr)

Exercícios relacionados