Questão 5

Agora imagine que uma outra esfera feita de outra substância (ou seja, não é de chumbo), mas que também tenha o mesmo volume V, seja mergulhada na piscina totalmente cheia de água. O empuxo sofrido pela esfera de chumbo será igual ou diferente ao empuxo sofrido pela outra esfera (feita de outra substância)? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se o empuxo sofrido por uma esfera de chumbo mergulhada totalmente em água é igual ou diferente do empuxo sofrido por outra esfera, de material diferente, que tem o mesmo volume V e também está mergulhada totalmente na mesma água.
Informações dadas:
  • Ambas as esferas estão totalmente mergulhadas na água.
  • Ambas têm o mesmo volume \;V.
  • Uma é de chumbo; a outra é feita de outra substância (densidade possivelmente diferente).
  • O fluido é água (mesma substância para as duas).
    A pergunta é comparar os valores do empuxo sobre as duas esferas e explicar por quê.

Passo 2

Apresento o princípio físico que resolve o problema (sem ainda aplicar números): o empuxo é descrito pelo Princípio de Arquimedes. Esse princípio diz que o empuxo sobre um corpo imerso em um fluido é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Em fórmula:
E=\rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{deslocado}}\,g
onde:
  • \;E é o empuxo (força direcionada para cima);
  • \;\rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (no nosso caso, \rho_{\text{água}}á);
  • \;V_{\text{deslocado}} é o volume de fluido deslocado pelo corpo (volume do fluido que ocupava o lugar do corpo);
  • \;g é a aceleração da gravidade (por exemplo, g=9{,}8\\ \text{m/s}^2).
    Explicação do porquê dessa fórmula (intuição): a pressão no fluido cresce com a profundidade; a diferença de pressão entre a face inferior e a face superior do corpo gera uma força líquida para cima. A quantidade dessa força é numericamente igual ao peso do fluido que tinha o mesmo volume que o corpo (isso é o conteúdo do Princípio de Arquimedes).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: como as duas esferas estão totalmente mergulhadas, o volume de fluido deslocado por cada uma é exatamente o volume da respectiva esfera. O enunciado diz que ambas têm o mesmo volume \;V, então
V_{\text{deslocado, chumbo}}=V_{\text{deslocado, outra}}=V.
Como as duas estão no mesmo fluido (água), a densidade do fluido é a mesma para ambas, ou seja, \rho_{\text{fluido}}=\rho_{\text{água}}á em ambos os casos. Portanto o empuxo em cada esfera é
E=\rho_{\text{água}}\,V\,g.á

Passo 4

Concluo a partir da aplicação: o empuxo em cada esfera depende somente de \rho_{\text{água}}á, de V e de g. Como \rho_{\text{água}}á, V e g são os mesmos para as duas esferas, os valores de empuxo são iguais. Em outras palavras, o material da esfera (se é chumbo ou outra substância) não entra na expressão do empuxo — o que importa é quanto de água foi deslocado (o volume) e a densidade da água.

Passo 5

Para deixar claro a diferença entre empuxo e peso (isso ajuda na prova): o peso da esfera depende da sua massa (ou da sua densidade \rho_{\text{obj}} e do volume \;V):
W=\rho_{\text{obj}}\,V\,g.
O empuxo é E=\rho_{\text{água}}\,V\,gá. Assim:
  • Se \rho_{\text{obj}}>\rho_{\text{água}}á então W>E e a esfera tende a afundar (resultante para baixo).
  • Se \rho_{\text{obj}}<\rho_{\text{água}}á então W<E e a esfera tende a subir (flutua), mas note: nesse caso a esfera não fica totalmente mergulhada em equilíbrio — ela fica parcialmente submersa até que o volume deslocado faça E=W.
    No nosso problema ambas estão totalmente mergulhadas (talvez seguradas ou forçadas a ficar submersas), por isso a comparação de empuxo feita anteriormente é válida.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, só para ver a chapa prática): suponha \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg/m}^3á, V=0{,}001\\ \text{m}^3 e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2. Então
E=1000\cdot 0{,}001\cdot 9{,}8 = 9{,}8\\ \text{N}.
Esse 9{,}8\\ \text{N} é o mesmo para as duas esferas, mesmo que uma seja de chumbo e a outra de madeira; o que muda entre elas é o peso W, porque a densidade do material muda.

Resposta

O empuxo é igual para as duas esferas, pois ambas deslocam o mesmo volume V de água e o empuxo depende apenas de \rho_{\text{água}}á, V e g, ou seja, E=\rho_{\text{água}}\,V\,gá.

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