Questão 2

Ainda não respondida
Considere a parábola de equação
x^{2}+2 x-4 y-3=0.
Determine o vértice da parábola.
◯ a. (-1,-1)
◯ b. (1,-1)
◯ c. (-1,0)
◯ d. (0,-1)
◯ e. n.d.a.

Passo 1

O enunciado dá a equação da parábola e pede o vértice. Informações do enunciado:
  • A equação fornecida é x^{2}+2x-4y-3=0.
  • A pergunta é: determinar o vértice da parábola.
  • As alternativas são:
    • a. (-1,-1)
    • b. (1,-1)
    • c. (-1,0)
    • d. (0,-1)
    • e. n.d.a.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação na forma y= alguma coisa, isolando y. Partindo de
x^{2}+2x-4y-3=0
somamos 4y+3 em ambos os lados para isolar o termo com y:
x^{2}+2x-3=4y.
Agora dividimos por 4 para obter y explicitamente:
y=\frac{1}{4}\bigl(x^{2}+2x-3\bigr).
Esse é um passo importante porque facilita transformar a expressão num “quadrado perfeito” — que é a forma conveniente para ler o vértice.

Passo 3

Agora vamos completar o quadrado na expressão x^{2}+2x-3. Vou explicar o conceito de completar o quadrado de forma didática:
  • Para transformar x^{2}+2x em um quadrado perfeito, usamos a identidade (x+b)^{2}=x^{2}+2bx+b^{2}.
  • Aqui o coeficiente de x é 2, que corresponde a 2b. Logo b=1.
  • Assim x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1, porque (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1, então subtraímos 1 para ajustar.
Aplicando isso em x^{2}+2x-3:
x^{2}+2x-3=(x+1)^{2}-1-3=(x+1)^{2}-4.

Passo 4

Substituímos a expressão completada de volta em y:
y=\frac{1}{4}\bigl((x+1)^{2}-4\bigr).
Distribuindo \tfrac{1}{4} obtemos a forma canônica (forma vértice):
y=\frac{1}{4}(x+1)^{2}-1.
Explicação do que essa forma significa:
  • A forma geral de uma parábola vertical em forma vértice é y=a(x-h)^{2}+k.
  • Nessa forma, o vértice é exatamente (h,k), porque o termo (x-h)^{2} é mínimo (vale 0) quando x=h, e então y=k naquele ponto.
  • No nosso caso a=\tfrac{1}{4}, e a parte (x+1)^{2} é igual a (x-(-1))^{2}, portanto h=-1 e k=-1.

Passo 5

Concluímos, então, que o vértice da parábola é (-1,-1).
(Como verificação alternativa rápida: derivando y em relação a x \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}(x+1). Zera-se a derivada para achar o extremo: \dfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow x=-1. Substituindo em y=\dfrac{1}{4}(x+1)^{2}-1 obtemos y=-1, confirmando o vértice.)

Resposta

a. (-1,-1)

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