Questão 4

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Considere a parábola de equação y^{2}-4 y+8 x-8=0. Determine sua equação na forma reduzida.
◯ a. (y+2)^{2}=-8\left(x-\frac{3}{2}\right)
◯ b. (y-2)^{2}=-8\left(x-\frac{3}{2}\right)
◯ c. (y-2)^{2}=-8\left(x+\frac{3}{2}\right)
◯ d. (y-2)^{2}=8\left(x-\frac{3}{2}\right)
◯ e. (y+2)^{2}=8\left(x-\frac{3}{2}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a parábola de equação y^{2}-4 y+8 x-8=0 e pede para determinar a sua equação na forma reduzida. Informações dadas:
  • Equação dada: y^{2}-4 y+8 x-8=0.
  • Objetivo: escrever essa equação na forma reduzida de uma parábola (forma canônica do tipo (y-k)^2=4p(x-h) ), ou seja, identificar deslocamentos e fator de abertura.

Passo 2

Vou isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro para facilitar completar o quadrado. Partindo de
y^{2}-4y+8x-8=0,
passo os termos envolvendo x para o outro lado:
y^{2}-4y = -8x + 8.

Passo 3

Agora vou completar o quadrado no lado esquerdo, que é um quadrático em y. Regra prática: para transformar y^{2}+by em um quadrado perfeito, adiciona-se e subtrai-se \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}. Aqui b=-4, então
\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} = \left(\dfrac{-4}{2}\right)^{2} = 4.
Adiciono 4 em ambos os lados da igualdade para não alterar a equação:
y^{2}-4y+4 = -8x + 8 + 4.

Passo 4

O lado esquerdo é agora um quadrado perfeito e o lado direito pode ser somado:
(y-2)^{2} = -8x + 12.

Passo 5

Factorizando -8 no lado direito para colocar na forma (y-k)^2 = 4p(x-h):
(y-2)^{2} = -8\left(x - \dfrac{12}{8}\right).
Simplificando a fração \dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}, obtemos
(y-2)^{2} = -8\left(x - \dfrac{3}{2}\right).
Explicando a interpretação: a forma reduzida padrão é (y-k)^2 = 4p(x-h). Comparando, tem-se k=2, h=\dfrac{3}{2} e 4p=-8, então p=-2. Isso significa que a parábola tem vértice em \left(\dfrac{3}{2},\,2\right) e abre para a esquerda (porque p<0). Força de abertura (valor absoluto de 4p) é |4p|=8.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a expressão obtida corresponde à alternativa (b).

Resposta

(y-2)^{2}=-8\left(x-\dfrac{3}{2}\right)

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