Questão 6
Ainda não
respondida
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questão
Qual a distância do ponto P_{0}=(1,1,2) à reta
r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=-t \\\ z=2-3 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.
Escolha uma opção:
a. \sqrt{\frac{7}{6}}
b. \sqrt{\frac{13}{14}}
c. \frac{\sqrt{13}}{4}
d. \sqrt{\frac{3}{4}}

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P_{0}=(1,1,2)\) à reta \[r:\begin{cases} x=1+2t,\\\ y=-t,\\\ z=2-3t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
Este é um problema de distância ponto–reta no espaço. Vamos usar a fórmula
\text{dist}(P_{0},r) =\frac{\bigl\|\overrightarrow{AP_{0}}\times \mathbf{d}\bigr\|}{\|\mathbf{d}\|},
em que A\] é um ponto da reta e \(\mathbf{d} seu vetor direção.

Passo 2

Tomamos t=0 para obter A=(1,0,2) na reta. O vetor direção é
\mathbf{d}=(2,-1,-3).
O vetor de A a P_{0} é
\overrightarrow{AP_{0}}=P_{0}-A=(1-1,\;1-0,\;2-2)=(0,1,0).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
\overrightarrow{AP_{0}}\times \mathbf{d} =(0,1,0)\times(2,-1,-3) =(-3,\,0,\,-2).
O módulo desse vetor é
\bigl\|\overrightarrow{AP_{0}}\times \mathbf{d}\bigr\| =\sqrt{(-3)^{2}+0^{2}+(-2)^{2}} =\sqrt{9+4} =\sqrt{13}.

Passo 4

O módulo de \mathbf{d} vale
\|\mathbf{d}\| =\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{4+1+9} =\sqrt{14}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância,
\text{dist}(P_{0},r) =\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}} =\sqrt{\tfrac{13}{14}}.
Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

b. \sqrt{\tfrac{13}{14}}

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