Questão 2
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Determinar o valor mínimo de
?
na região delimitada pelo triângulo de vértices
3
.
Vale 1,00 ponto(s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa achar o valor mínimo da função
dentro de um triângulo com vértices em
,
e
. Aqui, vamos usar um pouco de cálculo multivariável e otimização para encontrar esse valor mínimo. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o valor mínimo de uma função em uma região específica. Isso envolve verificar onde a função atinge seus menores valores dentro do triângulo dado. Para isso, precisamos considerar dois lugares onde o mínimo pode ocorrer:
- Dentro da região interna do triângulo – onde podemos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos.
- Nas bordas do triângulo – onde a função pode ter valores menores nos limites.
Vamos começar buscando os pontos críticos dentro da região interna.
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais da função em relação a
e
e igualamos a zero. Isso nos dará os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, possíveis candidatos a mínimo ou máximo.
A função é:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Igualando as derivadas a zero:
No entanto, como estamos trabalhando dentro do triângulo onde
e
, descartamos as soluções negativas. Assim, temos o ponto crítico
.
Passo 4
Agora que encontramos o ponto crítico
, precisamos verificar se ele está dentro do triângulo. O triângulo é definido por
,
e
.
Para o ponto
:
Então, o ponto está dentro da região.
Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Passo 5
Agora, precisamos verificar os valores da função nas bordas do triângulo para garantir que o mínimo não seja menor que
.
As bordas do triângulo são:
- Segmento entre (0,0) e (3,0): Aqui,
. - Segmento entre (0,0) e (0,3): Aqui,
. - Segmento entre (3,0) e (0,3): Aqui,
.
Vamos analisar cada uma:
1. Segmento
:
Derivando em relação a
:
Então,
2. Segmento
:
Derivando em relação a
:
Então,
3. Segmento
:
Vamos expressar e substituir na função:
Vamos expressar
Simplificando:
Derivando em relação a
:
Então,
e:
Passo 6
Agora, vamos comparar todos os valores que encontramos:
- No ponto interno
: - Nas bordas:
-
O menor valor entre eles é
, que ocorre no ponto interno
.
Resposta
O valor mínimo da função
na região delimitada pelo triângulo é
, alcançado no ponto
.