Questão 2

Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Determinar o valor mínimo de

?

f(x, y)=3 x^3+3 y^3-9 x-9 y na região delimitada pelo triângulo de vértices
3
(0,3),(3,0),(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa achar o valor mínimo da função f(x, y) = 3x^3 + 3y^3 - 9x - 9y dentro de um triângulo com vértices em (0,3) , (3,0) e (0,0) . Aqui, vamos usar um pouco de cálculo multivariável e otimização para encontrar esse valor mínimo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o valor mínimo de uma função em uma região específica. Isso envolve verificar onde a função atinge seus menores valores dentro do triângulo dado. Para isso, precisamos considerar dois lugares onde o mínimo pode ocorrer:
  1. Dentro da região interna do triângulo – onde podemos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos.
  2. Nas bordas do triângulo – onde a função pode ter valores menores nos limites.
Vamos começar buscando os pontos críticos dentro da região interna.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais da função em relação a x e y e igualamos a zero. Isso nos dará os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, possíveis candidatos a mínimo ou máximo.
A função é:
f(x, y) = 3x^3 + 3y^3 - 9x - 9y
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = 9x^2 - 9
partial fpartial y = 9y^2 - 9
Igualando as derivadas a zero:
9x^2 - 9 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
9y^2 - 9 = 0 Rightarrow y^2 = 1 Rightarrow y = pm 1
No entanto, como estamos trabalhando dentro do triângulo onde x >= 0 e y >= 0 , descartamos as soluções negativas. Assim, temos o ponto crítico (1, 1) .

Passo 4

Agora que encontramos o ponto crítico (1, 1) , precisamos verificar se ele está dentro do triângulo. O triângulo é definido por x >= 0 , y >= 0 e x + y <= 3 .
Para o ponto (1, 1) :
1 + 1 = 2 <= 3
Então, o ponto está dentro da região.
Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
f(1, 1) = 3(1)^3 + 3(1)^3 - 9(1) - 9(1) = 3 + 3 - 9 - 9 = -12

Passo 5

Agora, precisamos verificar os valores da função nas bordas do triângulo para garantir que o mínimo não seja menor que -12.
As bordas do triângulo são:
  1. Segmento entre (0,0) e (3,0): Aqui, y = 0 .
  2. Segmento entre (0,0) e (0,3): Aqui, x = 0 .
  3. Segmento entre (3,0) e (0,3): Aqui, x + y = 3 .
Vamos analisar cada uma:
1. Segmento y = 0 :
f(x, 0) = 3x^3 - 9x
Derivando em relação a x :
dfdx = 9x^2 - 9 = 0 Rightarrow x = 1
Então, f(1, 0) = 3(1)^3 - 9(1) = -6
2. Segmento x = 0 :
f(0, y) = 3y^3 - 9y
Derivando em relação a y :
dfdy = 9y^2 - 9 = 0 Rightarrow y = 1
Então, f(0, 1) = 3(1)^3 - 9(1) = -6
3. Segmento x + y = 3 :
Vamos expressar y = 3 - x e substituir na função:
f(x, 3 - x) = 3x^3 + 3(3 - x)^3 - 9x - 9(3 - x)
Simplificando:
f(x, 3 - x) = 3x^3 + 3(27 - 27x + 9x^2 - x^3) - 9x - 27 + 9x
= 3x^3 + 81 - 81x + 27x^2 - 3x^3 - 27
= 27x^2 - 81x + 54
Derivando em relação a x :
dfdx = 54x - 81 = 0 Rightarrow x = 8154 = 1.5
Então, y = 1.5 e:
f(1.5, 1.5) = 3(1.5)^3 + 3(1.5)^3 - 9(1.5) - 9(1.5) = 10.125 + 10.125 - 13.5 - 13.5 = -6.75

Passo 6

Agora, vamos comparar todos os valores que encontramos:
  • No ponto interno (1,1) : f(1,1) = -12
  • Nas bordas:
    • f(1,0) = -6
    • f(0,1) = -6
    • f(1.5,1.5) = -6.75
O menor valor entre eles é -12, que ocorre no ponto interno (1,1) .

Resposta

O valor mínimo da função f(x, y) = 3x^3 + 3y^3 - 9x - 9y na região delimitada pelo triângulo é -12, alcançado no ponto (1, 1) .

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