Questão 3
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar o valor máximo da função sujeita a restrição dada:
3
f(x, y)=4 x+6 y ; x^2+y^2=13.

square

Se (x0, y0) é o ponto crítico, o valor do máx
Resposta:
Resposta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de multiplicadores de Lagrange juntos! A gente tem que encontrar o valor máximo da função f(x, y) = 4x + 6y com a restrição x^2 + y^2 = 13 . Isso envolve um pouco de cálculo e álgebra, mas vou te guiar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Eles são usados para encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é combinar a função que queremos otimizar com a restrição usando um multiplicador, geralmente representado por lambda .

Passo 3

A gente começa escrevendo a função de Lagrange:
L(x, y, lambda) = 4x + 6y + lambda (13 - x^2 - y^2)
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange, e a restrição foi rearranjada para 13 - x^2 - y^2 = 0 .

Passo 4

Agora, vamos tirar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a x , y e lambda , e igualar a zero:
partial Lpartial x = 4 - 2lambda x = 0 partial Lpartial y = 6 - 2lambda y = 0 partial Lpartial lambda = 13 - x^2 - y^2 = 0

Passo 5

Vamos resolver as duas primeiras equações para x e y em termos de lambda :
4 = 2lambda x Rightarrow x = 42lambda = 2lambda 6 = 2lambda y Rightarrow y = 62lambda = 3lambda

Passo 6

Agora, substituímos x e y na terceira equação:
13 - (2lambda)^2 - (3lambda)^2 = 0 13 - 4lambda^2 - 9lambda^2 = 0 13 - 13lambda^2 = 0 13lambda^2 = 13 Rightarrow lambda^2 = 1 Rightarrow lambda = pm 1

Passo 7

Vamos considerar lambda = 1 :
x = 21 = 2 y = 31 = 3
Agora, com lambda = -1 :
x = 2-1 = -2 y = 3-1 = -3

Passo 8

Vamos calcular o valor da função f(x, y) = 4x + 6y nos dois pontos encontrados:
Para (2, 3) :
f(2, 3) = 4(2) + 6(3) = 8 + 18 = 26
Para (-2, -3) :
f(-2, -3) = 4(-2) + 6(-3) = -8 - 18 = -26

Resposta

O valor máximo da função é 26, atingido no ponto (2, 3) .

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