Seja f(x)=3 x^{3}-13 x+7. Utilizando o método de Newton-Raphson, determine os valores aproximados das raizes de f(x)=0 para os valores de x_{0} solicitado abaixo, no intervalo [0,2] e com tolerância \epsilon=0.01, usando os critérios \left|x_{k}-x_{k-1}\right| \leq \epsilon_{\mathrm{e}}\left|f\left(x_{k}\right)\right| \leq \epsilon. OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais. Considerando x_{0}=1, qual o valor aproximado da raiz? □
Considerando x_{0}=1.5, qual o valor aproximado da raiz? □

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3x^{3}-13x+7
no intervalo [0,2] e pede as aproximações das raízes de f(x)=0 pelo método de Newton-Raphson para os dois valores iniciais x_{0}=1 e x_{0}=1{,}5. A tolerância fornecida é \epsilon=0{,}01. O enunciado menciona os critérios
\left|x_{k}-x_{k-1}\right|\leq\epsilon_{\mathrm{e}}\qquad\text{e}\qquad\left|f(x_{k})\right|\leq\epsilon.
As perguntas específicas (duas) são:
  • Considerando x_{0}=1, qual o valor aproximado da raiz?
  • Considerando x_{0}=1{,}5, qual o valor aproximado da raiz?

Passo 2

Antes de iterar, vamos escrever a fórmula do método de Newton-Raphson e calcular a derivada necessária. A ideia do método é aproximar a raiz por retas tangentes: a fórmula iterativa é
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
Aqui x_{k} é a aproximação atual, f(x_{k}) é o valor da função nesse ponto e f'(x_{k}) é a derivada em x_{k}. Para a nossa função,
f'(x)=9x^{2}-13.
Explicando didaticamente: em cada iteração avaliamos f e f' no ponto atual e fazemos um passo que “corrige” o valor de x na direção que zera a reta tangente local. Se f'(x_{k}) for pequeno o passo pode ser grande ou instável — por isso sempre checamos f'(x_{k}) antes de dividir.

Passo 3

Sobre o critério de parada: o enunciado tem duas tolerâncias: a diferença entre iterações \left|x_{k}-x_{k-1}\right| (erro na variável) e o valor absoluto da função \left|f(x_{k})\right| (resíduo). Só foi dada \epsilon=0{,}01. Vou adotar a escolha prática e comum: usar a mesma tolerância para ambos, ou seja \epsilon_{\mathrm{e}}=\epsilon=0{,}01, e parar quando as duas condições forem satisfeitas simultaneamente:
\left|x_{k}-x_{k-1}\right|\leq 0{,}01\quad\text{e}\quad\left|f(x_{k})\right|\leq 0{,}01.
Justificativa curta: sem outra indicação, tomar a mesma tolerância para ambas é razoável e simples de aplicar na prova; se o enunciado pedisse só uma das condições, eu usaria só essa.
Agora vamos aplicar o método separado para cada x_{0}. Em todos os cálculos vou manter pelo menos 4 casas decimais nas aproximações intermediárias e finais.

Passo 4

Iterações para x_{0}=1.
  1. Avaliações iniciais:
f(1)=3\cdot1^{3}-13\cdot1+7=3-13+7=-3,
f'(1)=9\cdot1^{2}-13=9-13=-4.
Aplicando Newton:
x_{1}=1-\frac{-3}{-4}=1-\frac{3}{4}=1-0{,}75=0{,}25.

Passo 5

  1. Em x_{1}=0{,}25:
f(0{,}25)=3(0{,}25)^{3}-13(0{,}25)+7=0{,}046875-3{,}25+7=3{,}796875,
f'(0{,}25)=9(0{,}25)^{2}-13=9\cdot0{,}0625-13=0{,}5625-13=-12{,}4375.
Aplicando Newton:
x_{2}=0{,}25-\frac{3{,}796875}{-12{,}4375}=0{,}25+0{,}3052789\ldots=0{,}5552764\\ (\text{aprox. }0{,}5553).
Observação: aqui eu mantive mais dígitos internamente; a fração exata dá x_{2}=\dfrac{221}{398}\approx0{,}5552764.

Passo 6

  1. Em x_{2}\approx0{,}5552764:
    Calculemos f(x_{2}) e f'(x_{2}) (usar aproximações decimais):
f(x_{2})\approx0{,}2952610,\qquad f'(x_{2})\approx-10{,}229160.
Aplicando Newton:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx0{,}5552764-\frac{0{,}2952610}{-10{,}229160}\approx0{,}5841372.
Verificações:
|x_{3}-x_{2}|\approx0{,}0288608>0{,}01\quad(\text{ainda não satisfaz o critério de diferença}),ãéç
|f(x_{3})|\approx0{,}00427<0{,}01\quad(\text{já satisfaz o critério do resíduo}).áéí
Como precisamos que as duas condições sejam satisfeitas simultaneamente, continuamos.

Passo 7

  1. Em x_{3}\approx0{,}5841372:
    Avaliando (aproximações):
f(x_{3})\approx0{,}00427,\qquad f'(x_{3})\approx-9{,}92923.
Aplicando Newton:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}\approx0{,}5841372-\frac{0{,}00427}{-9{,}92923}\approx0{,}5845672.
Verificações:
|x_{4}-x_{3}|\approx0{,}0004300\leq 0{,}01,
|f(x_{4})|\ll 0{,}01\\ (\text{muito menor}).
Portanto ambas as condições são satisfeitas em k=4 e podemos parar. A aproximação final (com pelo menos 4 casas decimais) é
x\approx0{,}5846.

Passo 8

Iterações para x_{0}=1{,}5.
  1. Avaliações iniciais:
f(1{,}5)=3(1{,}5)^{3}-13(1{,}5)+7=3\cdot3{,}375-19{,}5+7=10{,}125-12{,}5=-2{,}375,
f'(1{,}5)=9(1{,}5)^{2}-13=9\cdot2{,}25-13=20{,}25-13=7{,}25.
Aplicando Newton:
x_{1}=1{,}5-\frac{-2{,}375}{7{,}25}=1{,}5+0{,}3275862069\approx1{,}8275862.

Passo 9

  1. Em x_{1}\approx1{,}8275862:
    Calculando (aprox.):
f(x_{1})\approx1{,}553448,\qquad f'(x_{1})\approx17{,}0606.
Aplicando Newton:
x_{2}=1{,}8275862-\frac{1{,}553448}{17{,}0606}\approx1{,}736530.

Passo 10

  1. Em x_{2}\approx1{,}736530:
    Calculando (aprox.):
f(x_{2})\approx0{,}1328,\qquad f'(x_{2})\approx14{,}1395.
Aplicando Newton:
x_{3}=1{,}736530-\frac{0{,}1328}{14{,}1395}\approx1{,}727138.
Verificações:
|x_{3}-x_{2}|\approx0{,}009392\leq0{,}01,
|f(x_{3})|\approx0{,}0057\leq0{,}01.
As duas condições são satisfeitas em k=3, então podemos parar. A aproximação final (com pelo menos 4 casas decimais) é
x\approx1{,}7271.

Resposta

\,0{,}5846\n \,1{,}7271

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