Seja
. Utilizando o método de Newton-Raphson, determine os valores aproximados das raizes de
para os valores de
solicitado abaixo, no intervalo
e com tolerância
, usando os critérios
. OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais. Considerando
, qual o valor aproximado da raiz? □
Considerando
, qual o valor aproximado da raiz? □
Considerando
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo
e pede as aproximações das raízes de
pelo método de Newton-Raphson para os dois valores iniciais
e
. A tolerância fornecida é
. O enunciado menciona os critérios
As perguntas específicas (duas) são:
- Considerando
, qual o valor aproximado da raiz? - Considerando
, qual o valor aproximado da raiz?
Passo 2
Antes de iterar, vamos escrever a fórmula do método de Newton-Raphson e calcular a derivada necessária. A ideia do método é aproximar a raiz por retas tangentes: a fórmula iterativa é
Aqui
é a aproximação atual,
é o valor da função nesse ponto e
é a derivada em
. Para a nossa função,
Explicando didaticamente: em cada iteração avaliamos
e
no ponto atual e fazemos um passo que “corrige” o valor de
na direção que zera a reta tangente local. Se
for pequeno o passo pode ser grande ou instável — por isso sempre checamos
antes de dividir.
Passo 3
Sobre o critério de parada: o enunciado tem duas tolerâncias: a diferença entre iterações
(erro na variável) e o valor absoluto da função
(resíduo). Só foi dada
. Vou adotar a escolha prática e comum: usar a mesma tolerância para ambos, ou seja
, e parar quando as duas condições forem satisfeitas simultaneamente:
Justificativa curta: sem outra indicação, tomar a mesma tolerância para ambas é razoável e simples de aplicar na prova; se o enunciado pedisse só uma das condições, eu usaria só essa.
Agora vamos aplicar o método separado para cada
. Em todos os cálculos vou manter pelo menos 4 casas decimais nas aproximações intermediárias e finais.
Passo 4
Iterações para
.
- Avaliações iniciais:
Aplicando Newton:
Passo 5
- Em
:
Aplicando Newton:
Observação: aqui eu mantive mais dígitos internamente; a fração exata dá
.
Passo 6
- Em
:
Calculemose (usar aproximações decimais):
Aplicando Newton:
Verificações:
Como precisamos que as duas condições sejam satisfeitas simultaneamente, continuamos.
Passo 7
- Em
:
Avaliando (aproximações):
Aplicando Newton:
Verificações:
Portanto ambas as condições são satisfeitas em
e podemos parar. A aproximação final (com pelo menos 4 casas decimais) é
Passo 8
Iterações para
.
- Avaliações iniciais:
Aplicando Newton:
Passo 9
- Em
:
Calculando (aprox.):
Aplicando Newton:
Passo 10
- Em
:
Calculando (aprox.):
Aplicando Newton:
Verificações:
As duas condições são satisfeitas em
, então podemos parar. A aproximação final (com pelo menos 4 casas decimais) é