Questão 2

Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).

Seja f(x)=3 x^{3}-13 x+7. Utilizando o método de Halley, determine o valor aproximado da raiz de f(x) no intervalo [0,1], com tolerância \epsilon=0.01, usando os critérios \left|x_{k}-x_{k-1}\right| \leq \epsilon \mathrm{e} \left|f\left(x_{k}\right)\right| \leq \epsilon. OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
Considerando x_{0}=1, qual o valor aproximado da raiz? □
Se k=0 for o valor da primeira iteração realizada. Qual o valor final de k ? □

Passo 1

O enunciado dá f(x)=3x^{3}-13x+7 e pede a aproximação da raiz de f no intervalo [0,1] usando o método de Halley com tolerância \epsilon=0,01. As condições de parada são simultaneamente: \left|x_{k}-x_{k-1}\right|\le\epsilon e \left|f\left(x_{k}\right)\right|\le\epsilon. O chute inicial é x_{0}=1.
As perguntas que precisamos responder são: (1) qual o valor aproximado da raiz obtido pelo método com \epsilon=0,01 (usar pelo menos 4 casas decimais) e (2) qual o valor final de k, dado que foi especificado que “ k=0 é o valor da primeira iteração realizada” (ou seja, usar essa convenção de contagem).

Passo 2

Apresento a fórmula do método de Halley e explico o que cada termo significa. Para achar uma raiz de f usamos iterações x_{n+1}=x_{n}-\Delta_n, onde, no método de Halley,
\Delta_n=\frac{2\,f(x_n)\,f'(x_n)}{2\,[f'(x_n)]^{2}-f(x_n)\,f''(x_n)}.
Aqui:
  • f(x_n) é o valor da função no ponto atual x_n;
  • f'(x_n) é a derivada primeira em x_n (informa a inclinação local);
  • f''(x_n) é a derivada segunda em x_n (informa a curvatura local).
    A intuição: Halley corrige a iteração de Newton acrescentando um termo envolvendo f'', o que pode acelerar a convergência quando a função é suficientemente suave.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f:
f(x)=3x^{3}-13x+7,
f'(x)=9x^{2}-13,
f''(x)=18x.
Vamos aplicar a fórmula a partir de x_{0}=1. Em cada iteração eu vou mostrar os valores principais e checar os critérios de parada \left|x_{k}-x_{k-1}\right|\le 0,01 e \left|f(x_{k})\right|\le 0,01.

Passo 4

Primeira iteração (a partir de x_0=1 gera x_1):
Calculemos valores em x_0=1:
f(1)=3(1)^{3}-13(1)+7=3-13+7=-3,
f'(1)=9(1)^{2}-13=9-13=-4,
f''(1)=18(1)=18.
Agora a correção \Delta_0:
\Delta_0=\frac{2\,f(1)\,f'(1)}{2[f'(1)]^{2}-f(1)\,f''(1)} =\frac{2\cdot(-3)\cdot(-4)}{2\cdot(-4)^{2}-(-3)\cdot 18} =\frac{24}{86}=\frac{12}{43}.
Portanto
x_{1}=x_{0}-\Delta_{0}=1-\frac{12}{43}=\frac{31}{43}\approx 0{,}7209302326.
Verificações:
|x_{1}-x_{0}|=|0{,}7209302326-1|=0{,}2790697674>0{,}01,
f(x_{1})=f\!\left(\frac{31}{43}\right)=-\frac{99225}{79507}\approx -1{,}247641635\quad\text{(retirado do cálculo exato em frações)}.áçõ
Como |x_{1}-x_{0}|>0{,}01 e |f(x_{1})|>0{,}01, não paramos; passamos à próxima iteração.

Passo 5

Segunda iteração (calcular x_2 a partir de x_1):
Valores aproximados em x_{1}\approx 0{,}7209302326:
f(x_{1})\approx -1{,}247641635,
f'(x_{1})=9x_{1}^{2}-13\approx -8{,}3228280343,
f''(x_{1})=18x_{1}\approx 12{,}9767441852.
Agora a correção \Delta_1:
\Delta_1=\frac{2\,f(x_{1})\,f'(x_{1})}{2[f'(x_{1})]^{2}-f(x_{1})\,f''(x_{1})}.
Substituindo os valores numéricos:
\Delta_1\approx\frac{2\cdot(-1{,}247641635)\cdot(-8{,}3228280343)}{2\cdot( -8{,}3228280343)^{2}-(-1{,}247641635)\cdot 12{,}9767441852}\approx 0{,}1341810000.
Assim
x_{2}=x_{1}-\Delta_{1}\approx 0{,}7209302326-0{,}1341810000\approx 0{,}5867492326.
Verificações:
|x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}134181>0{,}01,
f(x_{2})\approx -0{,}0217319\quad(\text{cálculo numérico aproximado de }3x^{3}-13x+7).áé
Ainda |f(x_{2})|>0{,}01, então continuamos.

Passo 6

Terceira iteração (calcular x_3 a partir de x_2):
Valores aproximados em x_{2}\approx 0{,}5867492326:
f(x_{2})\approx -0{,}0217319,
f'(x_{2})=9x_{2}^{2}-13\approx -9{,}9015280375,
f''(x_{2})=18x_{2}\approx 10{,}5614861868.
Correção \Delta_2:
\Delta_2=\frac{2\,f(x_{2})\,f'(x_{2})}{2[f'(x_{2})]^{2}-f(x_{2})\,f''(x_{2})} \approx\frac{2\cdot(-0{,}0217319)\cdot(-9{,}9015280375)}{2\cdot( -9{,}9015280375)^{2}-(-0{,}0217319)\cdot 10{,}5614861868} \approx 0{,}0021950000.
Logo
x_{3}=x_{2}-\Delta_{2}\approx 0{,}5867492326-0{,}0021950000\approx 0{,}5845542326.
Verificações finais:
|x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}002195\le 0{,}01,
f(x_{3})\approx 0{,}0000474\quad(\text{aproximadamente }4{,}7\times 10^{-5})\le 0{,}01.
Portanto, ambos os critérios de parada foram satisfeitos na terceira iteração produzindo x_{3}. Com a convenção pedida (“ k=0 é a primeira iteração realizada”), os índices ficam:
  • nossa primeira iteração (de x_{0}=1 para x_{1}) corresponde a k=0,
  • segunda iteração (para x_{2}) corresponde a k=1,
  • terceira iteração (para x_{3}) corresponde a k=2.
    Logo paramos quando k=2.

Resposta

x\approx 0{,}584554
k=2

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