Questão 2
Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).
Seja
. Utilizando o método de Halley, determine o valor aproximado da raiz de
no intervalo
, com tolerância
, usando os critérios
. OBS: utilize uma aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
Considerando
, qual o valor aproximado da raiz? □
Se
for o valor da primeira iteração realizada. Qual o valor final de
? □
Considerando
Se
Passo 1
O enunciado dá
e pede a aproximação da raiz de
no intervalo
usando o método de Halley com tolerância
. As condições de parada são simultaneamente:
e
. O chute inicial é
.
As perguntas que precisamos responder são: (1) qual o valor aproximado da raiz obtido pelo método com (usar pelo menos 4 casas decimais) e (2) qual o valor final de
, dado que foi especificado que “
é o valor da primeira iteração realizada” (ou seja, usar essa convenção de contagem).
As perguntas que precisamos responder são: (1) qual o valor aproximado da raiz obtido pelo método com
Passo 2
Apresento a fórmula do método de Halley e explico o que cada termo significa. Para achar uma raiz de
usamos iterações
, onde, no método de Halley,
Aqui:
-
é o valor da função no ponto atual ; -
é a derivada primeira em (informa a inclinação local); -
é a derivada segunda em (informa a curvatura local).
A intuição: Halley corrige a iteração de Newton acrescentando um termo envolvendo, o que pode acelerar a convergência quando a função é suficientemente suave.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Vamos aplicar a fórmula a partir de
. Em cada iteração eu vou mostrar os valores principais e checar os critérios de parada
e
.
Passo 4
Primeira iteração (a partir de
gera
):
Calculemos valores em
:
Agora a correção
:
Portanto
Verificações:
Como
e
, não paramos; passamos à próxima iteração.
Passo 5
Segunda iteração (calcular
a partir de
):
Valores aproximados em
:
Agora a correção
:
Substituindo os valores numéricos:
Assim
Verificações:
Ainda
, então continuamos.
Passo 6
Terceira iteração (calcular
a partir de
):
Valores aproximados em
:
Correção
:
Logo
Verificações finais:
Portanto, ambos os critérios de parada foram satisfeitos na terceira iteração produzindo
. Com a convenção pedida (“
é a primeira iteração realizada”), os índices ficam:
- nossa primeira iteração (de
para ) corresponde a , - segunda iteração (para
) corresponde a , - terceira iteração (para
) corresponde a .
Logo paramos quando.