Questão 3
Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).
Seja f uma função numérica a ser integrada em [-2; 2].
- Qualquer fórmula (fechada) de Newton-Cotes avalia
e
: □
- Nenhuma quadratura de Gauss-Legendre avalia
e
: □
- Com um número impar de pontos, tanto as fórmulas compostas de Newton-Cotes quanto a quadratura de Gauss-Legendre avalia f em 0:
□
- A soma dos pesos empregados por qualquer quadratura de Gauss-Legendre vale 2:
□
- Se f for impar, qualquer fórmula de Newton-Cotes e qualquer quadratura de Gauss-Legendre retorna 0: □
□
□
Passo 1
O enunciado dá uma função numérica a ser integrada em
e apresenta cinco afirmações para serem julgadas como verdadeiras ou falsas. As cinco afirmações são:
- “Qualquer fórmula (fechada) de Newton-Cotes avalia
e .” - “Nenhuma quadratura de Gauss-Legendre avalia
e .” - “Com um número ímpar de pontos, tanto as fórmulas compostas de Newton-Cotes quanto a quadratura de Gauss-Legendre avaliam
em .” - “A soma dos pesos empregados por qualquer quadratura de Gauss-Legendre vale
.” - “Se
for ímpar, qualquer fórmula de Newton-Cotes e qualquer quadratura de Gauss-Legendre retorna .”
Informações relevantes que já temos do enunciado e que vamos usar: o intervalo de integração é
(simétrico em torno de
); fala-se de fórmulas Newton-Cotes (fechadas e compostas) e de quadraturas de Gauss-Legendre. A resolução nas próximas etapas vai analisar cada afirmação usando propriedades padrão dessas regras de quadratura.
Passo 2
Explicando o que é uma fórmula fechada de Newton-Cotes e por que isso importa para a afirmação 1.
- Uma fórmula de Newton-Cotes “fechada” usa nós igualmente espaçados que incluem os extremos do intervalo de integração. Ou seja, se aplicamos uma Newton-Cotes fechada direta em
com nós, esses nós contêm e . - Em palavras simples: “fechada” = inclui os pontos finais. Portanto ao avaliar a aproximação da integral a regra irá usar explicitamente
e .
Conclusão parcial (a justificar formalmente depois): a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação 2 sobre Gauss-Legendre.
- A quadratura de Gauss-Legendre com
nós usa como nós as raízes do polinômio de Legendre de grau . Essas raízes estão estritamente no interior do intervalo de integração; para o intervalo padrão elas pertencem a . Ao mapear para (uma mudança afim), as raízes ficam em , ou seja, nunca coincidem com os extremos ou . - Então, por construção, nenhuma quadratura de Gauss-Legendre avalia a função nos extremos do intervalo.
Conclusão parcial: a afirmação 2 é verdadeira.
Passo 4
Explicando a afirmação 3: comportamento quando o número de pontos é ímpar.
- Para Gauss-Legendre: as raízes do polinômio de Legendre são simétricas em torno de
. Se o número de nós é ímpar, então existe uma raiz exatamente em . Logo uma quadratura de Gauss-Legendre com número ímpar de pontos sempre avalia em quando o intervalo é simétrico . - Para Newton-Cotes compostas (ou mesmo uma regra Newton-Cotes simples com nós igualmente espaçados sobre
): se o número total de nós é ímpar e os nós são distribuídos simetricamente (o que é padrão em Newton-Cotes: nós igualmente espaçados sobre um intervalo simétrico), haverá um nó central coincidente com . Por exemplo, com 3 nós igualmente espaçados em os nós seriam . - Observação prática: quando se fala “número ímpar de pontos” e estamos usando nós igualmente espaçados sobre um intervalo simétrico, isso garante a presença do ponto central
.
Conclusão parcial: a afirmação 3 é verdadeira.
Passo 5
Explicando a afirmação 4 sobre a soma dos pesos de Gauss-Legendre.
- Propriedade geral de qualquer quadratura que seja exata para constantes: a soma dos pesos
é igual à integral da função constante no intervalo, ou seja . - No nosso caso o intervalo é
, então . - A quadratura de Gauss-Legendre é exata para polinômios de grau até
, portanto em particular é exata para a constante , e assim sua soma de pesos é , não . - A confusão com
surge porque, para o intervalo padrão , a soma dos pesos vale . Mas aqui o intervalo é .
Conclusão parcial: a afirmação 4 (dizendo que a soma vale
) é falsa.
Passo 6
Analisando a afirmação 5 sobre funções ímpares.
- Lembrete: uma função
é ímpar se . - Se uma regra de quadratura tem nós simetricamente dispostos em torno de
e pesos correspondentes simétricos (i.e., se para cada par de nós e temos ), então a soma ponderada para uma função ímpar se anula: e, se houver um nó em , para função ímpar temos , então esse nó não altera a soma. - Gauss-Legendre tem nós simétricos e pesos simétricos quando o intervalo é simétrico
, logo para qualquer função ímpar a soma ponderada da quadratura de Gauss-Legendre é . - Newton-Cotes (tanto fechadas quanto abertas e suas versões compostas), construídas com nós igualmente espaçados sobre um intervalo simétrico, também têm pesos simétricos. Logo a regra aplicada a uma função ímpar dá soma zero (novamente, se houver nó em
o valor é zero ali). - Importante: estamos assumindo as regras padrão aplicadas no intervalo simétrico
com nós e pesos simétricos — que é o caso usual. Nessas condições, tanto Newton-Cotes quanto Gauss-Legendre retornam para ímpar.
Conclusão parcial: a afirmação 5 é verdadeira (sob a hipótese padrão de nós/pesos simétricos, que vale aqui).
Passo 7
Resumo final das conclusões (breve recapitulação para ficar gravado na cabeça):
- Afirmação 1: verdadeira, porque Newton-Cotes fechada inclui os extremos.
- Afirmação 2: verdadeira, porque Gauss-Legendre usa nós interiores (raízes de Legendre).
- Afirmação 3: verdadeira, porque com número ímpar de nós simétricos existe o nó central
(para ambas as famílias, sob o arranjo padrão). - Afirmação 4: falsa, porque a soma dos pesos é
, não (o valor seria para ). - Afirmação 5: verdadeira, porque nós e pesos simétricos implicam cancelamento para função ímpar.
Resposta
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro