Questão 3

Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).
Seja f uma função numérica a ser integrada em [-2; 2].
  • Qualquer fórmula (fechada) de Newton-Cotes avalia \mathrm{f}(-2) e \mathrm{f}(2) : □
  • Nenhuma quadratura de Gauss-Legendre avalia f(-2) e f(2) : □
  • Com um número impar de pontos, tanto as fórmulas compostas de Newton-Cotes quanto a quadratura de Gauss-Legendre avalia f em 0:
  • A soma dos pesos empregados por qualquer quadratura de Gauss-Legendre vale 2:
  • Se f for impar, qualquer fórmula de Newton-Cotes e qualquer quadratura de Gauss-Legendre retorna 0: □

Passo 1

O enunciado dá uma função numérica a ser integrada em [-2,2] e apresenta cinco afirmações para serem julgadas como verdadeiras ou falsas. As cinco afirmações são:
  1. “Qualquer fórmula (fechada) de Newton-Cotes avalia \mathrm{f}(-2) e \mathrm{f}(2).”
  2. “Nenhuma quadratura de Gauss-Legendre avalia \mathrm{f}(-2) e \mathrm{f}(2).”
  3. “Com um número ímpar de pontos, tanto as fórmulas compostas de Newton-Cotes quanto a quadratura de Gauss-Legendre avaliam f em 0.”
  4. “A soma dos pesos empregados por qualquer quadratura de Gauss-Legendre vale 2.”
  5. “Se f for ímpar, qualquer fórmula de Newton-Cotes e qualquer quadratura de Gauss-Legendre retorna 0.”
Informações relevantes que já temos do enunciado e que vamos usar: o intervalo de integração é [-2,2] (simétrico em torno de 0); fala-se de fórmulas Newton-Cotes (fechadas e compostas) e de quadraturas de Gauss-Legendre. A resolução nas próximas etapas vai analisar cada afirmação usando propriedades padrão dessas regras de quadratura.

Passo 2

Explicando o que é uma fórmula fechada de Newton-Cotes e por que isso importa para a afirmação 1.
  • Uma fórmula de Newton-Cotes “fechada” usa nós igualmente espaçados que incluem os extremos do intervalo de integração. Ou seja, se aplicamos uma Newton-Cotes fechada direta em [-2,2] com n+1 nós, esses nós contêm -2 e 2.
  • Em palavras simples: “fechada” = inclui os pontos finais. Portanto ao avaliar a aproximação da integral a regra irá usar explicitamente \mathrm{f}(-2) e \mathrm{f}(2).
Conclusão parcial (a justificar formalmente depois): a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação 2 sobre Gauss-Legendre.
  • A quadratura de Gauss-Legendre com n nós usa como nós as raízes do polinômio de Legendre de grau n. Essas raízes estão estritamente no interior do intervalo de integração; para o intervalo padrão [-1,1] elas pertencem a (-1,1). Ao mapear para [-2,2] (uma mudança afim), as raízes ficam em (-2,2), ou seja, nunca coincidem com os extremos -2 ou 2.
  • Então, por construção, nenhuma quadratura de Gauss-Legendre avalia a função nos extremos do intervalo.
Conclusão parcial: a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 4

Explicando a afirmação 3: comportamento quando o número de pontos é ímpar.
  • Para Gauss-Legendre: as raízes do polinômio de Legendre são simétricas em torno de 0. Se o número de nós n é ímpar, então existe uma raiz exatamente em 0. Logo uma quadratura de Gauss-Legendre com número ímpar de pontos sempre avalia f em 0 quando o intervalo é simétrico [-2,2].
  • Para Newton-Cotes compostas (ou mesmo uma regra Newton-Cotes simples com nós igualmente espaçados sobre [-2,2]): se o número total de nós é ímpar e os nós são distribuídos simetricamente (o que é padrão em Newton-Cotes: nós igualmente espaçados sobre um intervalo simétrico), haverá um nó central coincidente com 0. Por exemplo, com 3 nós igualmente espaçados em [-2,2] os nós seriam -2,0,2.
  • Observação prática: quando se fala “número ímpar de pontos” e estamos usando nós igualmente espaçados sobre um intervalo simétrico, isso garante a presença do ponto central 0.
Conclusão parcial: a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 5

Explicando a afirmação 4 sobre a soma dos pesos de Gauss-Legendre.
  • Propriedade geral de qualquer quadratura que seja exata para constantes: a soma dos pesos \sum_i w_i é igual à integral da função constante 1 no intervalo, ou seja \sum_i w_i = \int_{a}^{b} 1\,dx = b-a.
  • No nosso caso o intervalo é [-2,2], então \int_{-2}^{2} 1\,dx = 4.
  • A quadratura de Gauss-Legendre é exata para polinômios de grau até 2n-1, portanto em particular é exata para a constante 1, e assim sua soma de pesos é 4, não 2.
  • A confusão com 2 surge porque, para o intervalo padrão [-1,1], a soma dos pesos vale 2. Mas aqui o intervalo é [-2,2].
Conclusão parcial: a afirmação 4 (dizendo que a soma vale 2) é falsa.

Passo 6

Analisando a afirmação 5 sobre funções ímpares.
  • Lembrete: uma função f é ímpar se \forall x,\; f(-x) = -f(x).
  • Se uma regra de quadratura tem nós simetricamente dispostos em torno de 0 e pesos correspondentes simétricos (i.e., se para cada par de nós x_i e -x_i temos w_i = w_j), então a soma ponderada para uma função ímpar se anula: \sum_{i} w_i f(x_i) = \sum_{\text{pares }(x,-x)} w\,\big(f(x)+f(-x)\big) = \sum_{\text{pares }(x,-x)} w\,\big(f(x)-f(x)\big) = 0,e, se houver um nó em 0, para função ímpar temos f(0)=0, então esse nó não altera a soma.
  • Gauss-Legendre tem nós simétricos e pesos simétricos quando o intervalo é simétrico [-2,2], logo para qualquer função ímpar a soma ponderada da quadratura de Gauss-Legendre é 0.
  • Newton-Cotes (tanto fechadas quanto abertas e suas versões compostas), construídas com nós igualmente espaçados sobre um intervalo simétrico, também têm pesos simétricos. Logo a regra aplicada a uma função ímpar dá soma zero (novamente, se houver nó em 0 o valor é zero ali).
  • Importante: estamos assumindo as regras padrão aplicadas no intervalo simétrico [-2,2] com nós e pesos simétricos — que é o caso usual. Nessas condições, tanto Newton-Cotes quanto Gauss-Legendre retornam 0 para f ímpar.
Conclusão parcial: a afirmação 5 é verdadeira (sob a hipótese padrão de nós/pesos simétricos, que vale aqui).

Passo 7

Resumo final das conclusões (breve recapitulação para ficar gravado na cabeça):
  • Afirmação 1: verdadeira, porque Newton-Cotes fechada inclui os extremos.
  • Afirmação 2: verdadeira, porque Gauss-Legendre usa nós interiores (raízes de Legendre).
  • Afirmação 3: verdadeira, porque com número ímpar de nós simétricos existe o nó central 0 (para ambas as famílias, sob o arranjo padrão).
  • Afirmação 4: falsa, porque a soma dos pesos é \int_{-2}^{2}1\,dx=4, não 2 (o valor 2 seria para [-1,1]).
  • Afirmação 5: verdadeira, porque nós e pesos simétricos implicam cancelamento para função ímpar.

Resposta

Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro

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