Questão 4
Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).
Considere o cálculo de
, com
uma função numérica derivável infinitamente, e desconsidere os erros de arredondamentos.
- Se
, a curva de
admitir um ponto de inflexão no intervalo (
) é uma condição necessária para a regra do trapézio ser exata:
□
-
ser polinomial de grau 3 ou menor é uma condição suficiente para a regra do
de Simpson ser exata: □
-
ser polinomial de grau 4 é uma condição suficiente para a quadratura de Gauss-Legendre com três pontos ser exata: □
- Ao compor suficientemente uma fórmula de Newton-Cotes, qualquer grau de precisão é atingido: □
- Ao aumentar o número de pontos da quadratura de Gauss-Legendre, qualquer grau de precisão pode ser atingido: □
□
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre exatidão de fórmulas de quadratura para
, com
infinitamente derivável, e pede que indiquemos se cada afirmação é verdadeira ou falsa. As cinco afirmações são, em ordem:
-
Supondo
, “a curva de admitir um ponto de inflexão no intervalo ” é uma condição necessária para a regra do trapézio ser exata. -
“
ser polinomial de grau ou menor” é condição suficiente para a regra de Simpson ser exata. -
“
ser polinomial de grau ” é condição suficiente para a quadratura de Gauss–Legendre com três pontos ser exata. -
Ao compor suficientemente uma fórmula de Newton–Cotes, qualquer grau de precisão é atingido (afirma que a composição eleva arbitrariamente o grau de precisão).
-
Ao aumentar o número de pontos da quadratura de Gauss–Legendre, qualquer grau de precisão pode ser atingido (afirma que aumentando
chega-se a qualquer grau desejado).
Informações importantes dadas:
é
e, para a primeira afirmação, há a hipótese adicional
no intervalo.
Passo 2
Vou explicar o conceito chave que usaremos: grau de precisão (ou exatidão algébrica) de uma fórmula de quadratura. Dizemos que uma fórmula de quadratura é exata para polinômios de grau até
se, para todo polinômio
com
, a fórmula devolve exatamente
. O maior
com essa propriedade é o grau de precisão da fórmula. Esse conceito é prático porque muitas fórmulas têm teoremas que relacionam o erro a derivadas de determinada ordem e ao fato de a fórmula integrar exatamente polinômios até certo grau.
Passo 3
Análise da afirmação 1 (trapézio e ponto de inflexão). Primeiro preciso usar a fórmula do erro para a regra do trapézio no intervalo
. O teorema do erro para o trapézio simples afirma que existe
tal que
No nosso caso
,
, então existe
com
Se a regra do trapézio é exata para
então
, logo
para algum
.
Agora ligamos isso ao conceito de ponto de inflexão. Um ponto
é um ponto de inflexão quando a concavidade muda de sinal aí; uma forma prática: se
é contínua e existe
tal que
e
muda de sinal em
, então
é ponto de inflexão. Se além disso sabemos que
em
, então
é estritamente crescente. Se
em algum
, então necessariamente
à esquerda de
e
à direita (porque sendo estritamente crescente atravessa o zero de negativo para positivo). Isso garante mudança de sinal e, portanto, um ponto de inflexão em
.
Conclusão lógica: sob a hipótese
, a exatidão do trapézio (que implica existência de
com
) implica a existência de um ponto de inflexão em
. Ou seja, a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 4
Vou reforçar didaticamente com uma interpretação intuitiva: o erro do trapézio depende de
(segunda derivada). Se o trapézio dá exatamente a área, o erro é zero, então a segunda derivada anula-se em algum ponto (teorema do valor médio para erros de quadratura). Com
sabemos que
é monotonicamente crescente, então esse zero não pode ser um “toque” sem troca de sinal; ele força a mudança de concavidade — o que é o ponto de inflexão. Então a necessidade está demonstrada.
Passo 5
Análise da afirmação 2 (Simpson
). A regra de Simpson simples (usando
,
) é exata para todos os polinômios de grau até
. Em termos de grau de precisão: Simpson tem grau de precisão
. Portanto, se
é polinomial com
, Simpson calcula
exatamente. Isso é a definição de “suficiente”: ser polinomial de grau
garante exatidão. Assim a afirmação 2 é verdadeira.
Vou dar uma pequena intuição: Simpson combina as avaliações em três pontos (extremos e meio) e, por construção (resolvendo as equações de momentos), cancela o erro até a derivada de ordem
, deixando exato para grau
.
Passo 6
Análise da afirmação 3 (Gauss–Legendre com três pontos). Há um resultado padrão: a fórmula de Gauss–Legendre com
pontos é exata para todos polinômios de grau até
. Para
temos grau de precisão
. Isso significa que qualquer polinômio de grau
(ou
, ou menor) é integrado exatamente por Gauss–Legendre de três pontos. Logo afirmar que “ser polinomial de grau
é condição suficiente para a quadratura de Gauss–Legendre com três pontos ser exata” está correta: grau
está abaixo do limite
. Portanto a afirmação 3 é verdadeira.
Observação didática curta: Gauss–Legendre escolhe nós e pesos de forma ótima (resolvendo condições de exatidão para as potências
), por isso atinge esse grau
.
Passo 7
Análise da afirmação 4 (composição de Newton–Cotes). Primeiro, o que significa “compor” uma fórmula? Significa aplicar a fórmula base em vários subintervalos e somar os resultados (fórmula composta). Importante: a composição NÃO aumenta o grau de precisão da fórmula base em termos de exatidão algébrica global para polinômios. Se a fórmula base é exata até grau
, a fórmula composta continua a ser exata até grau
(e em geral não mais). Para ver isso com um exemplo simples e concreto, considere a regra do trapézio (grau de precisão
) aplicada de forma composta em
com duas subintervalos iguais:
, nós
. Para
a integral exata é
A fórmula do trapézio composta (com dois subintervalos) dá
que é
. Portanto a composição do trapézio não integrou exatamente
. Isso mostra que compor uma fórmula de grau
não a torna exata para grau
. Em geral, a composição preserva o grau de precisão da fórmula local; não há ganho ilimitado.
Logo a afirmação 4 é falsa: compor suficientemente uma Newton–Cotes não garante alcançar “qualquer grau de precisão”.
Passo 8
Complemento didático sobre Newton–Cotes: existem Newton–Cotes de alta ordem (fechados ou abertos) que, sem compor, têm graus de precisão mais altos — mas essas fórmulas com muitos nós ficam instáveis (pesos podem alternar de sinal e ocorrer erro de Runge). A afirmação 4 confundiu “aumentar o número de subintervalos (composição)” com “aumentar o número de nós na fórmula base”. Só a segunda opção (usar uma fórmula de Newton–Cotes com mais nós) pode aumentar o grau, mas isso não é “compor”; e mesmo assim tem limitações práticas.
Passo 9
Análise da afirmação 5 (aumentar pontos em Gauss–Legendre). Já mencionei: a fórmula de Gauss–Legendre com
pontos tem grau de precisão
. Isso significa que, escolhendo
suficientemente grande, podemos integrar exatamente todos os polinômios até qualquer grau finito desejado. Por exemplo, para alcançar exatidão para polinômios de grau
basta tomar
tal que
, ou seja
. Portanto a afirmação 5 é verdadeira.
Intuição: Gauss é “ótima” em termos de quantidade de nós versus grau de precisão; dobrando o número de nós praticamente dobra o grau de precisão menos um.
Resposta
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro