Questão 4

Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).

Considere o cálculo de \int_{0}^{1} f, com f uma função numérica derivável infinitamente, e desconsidere os erros de arredondamentos.
  • Se f^{(3)}>0, a curva de f admitir um ponto de inflexão no intervalo ( 0 ; 1 ) é uma condição necessária para a regra do trapézio ser exata:
  • f ser polinomial de grau 3 ou menor é uma condição suficiente para a regra do 1 / 3 de Simpson ser exata: □
  • f ser polinomial de grau 4 é uma condição suficiente para a quadratura de Gauss-Legendre com três pontos ser exata: □
  • Ao compor suficientemente uma fórmula de Newton-Cotes, qualquer grau de precisão é atingido: □
  • Ao aumentar o número de pontos da quadratura de Gauss-Legendre, qualquer grau de precisão pode ser atingido: □

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre exatidão de fórmulas de quadratura para \int_{0}^{1} f, com f infinitamente derivável, e pede que indiquemos se cada afirmação é verdadeira ou falsa. As cinco afirmações são, em ordem:
  1. Supondo f^{(3)}>0, “a curva de f admitir um ponto de inflexão no intervalo (0,1)” é uma condição necessária para a regra do trapézio ser exata.
  2. f ser polinomial de grau 3 ou menor” é condição suficiente para a regra de Simpson 1/3 ser exata.
  3. f ser polinomial de grau 4” é condição suficiente para a quadratura de Gauss–Legendre com três pontos ser exata.
  4. Ao compor suficientemente uma fórmula de Newton–Cotes, qualquer grau de precisão é atingido (afirma que a composição eleva arbitrariamente o grau de precisão).
  5. Ao aumentar o número de pontos da quadratura de Gauss–Legendre, qualquer grau de precisão pode ser atingido (afirma que aumentando n chega-se a qualquer grau desejado).
Informações importantes dadas: f é C^\infty e, para a primeira afirmação, há a hipótese adicional f^{(3)}>0 no intervalo.

Passo 2

Vou explicar o conceito chave que usaremos: grau de precisão (ou exatidão algébrica) de uma fórmula de quadratura. Dizemos que uma fórmula de quadratura é exata para polinômios de grau até m se, para todo polinômio p com \deg p\le m, a fórmula devolve exatamente \int_{0}^{1} p(x)\,dx. O maior m com essa propriedade é o grau de precisão da fórmula. Esse conceito é prático porque muitas fórmulas têm teoremas que relacionam o erro a derivadas de determinada ordem e ao fato de a fórmula integrar exatamente polinômios até certo grau.

Passo 3

Análise da afirmação 1 (trapézio e ponto de inflexão). Primeiro preciso usar a fórmula do erro para a regra do trapézio no intervalo [a,b]. O teorema do erro para o trapézio simples afirma que existe \xi\in(a,b) tal que
E_T = \int_{a}^{b} f(x)\,dx - \frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr) = -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi).
No nosso caso a=0, b=1, então existe \xi\in(0,1) com
E_T = -\frac{1}{12} f''(\xi).
Se a regra do trapézio é exata para f então E_T=0, logo f''(\xi)=0 para algum \xi\in(0,1).
Agora ligamos isso ao conceito de ponto de inflexão. Um ponto x_0 é um ponto de inflexão quando a concavidade muda de sinal aí; uma forma prática: se f'' é contínua e existe x_0 tal que f''(x_0)=0 e f'' muda de sinal em x_0, então x_0 é ponto de inflexão. Se além disso sabemos que f^{(3)}>0 em (0,1), então f'' é estritamente crescente. Se f''(\xi)=0 em algum \xi, então necessariamente f''<0 à esquerda de \xi e f''>0 à direita (porque sendo estritamente crescente atravessa o zero de negativo para positivo). Isso garante mudança de sinal e, portanto, um ponto de inflexão em \xi.
Conclusão lógica: sob a hipótese f^{(3)}>0, a exatidão do trapézio (que implica existência de \xi com f''(\xi)=0) implica a existência de um ponto de inflexão em (0,1). Ou seja, a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 4

Vou reforçar didaticamente com uma interpretação intuitiva: o erro do trapézio depende de f'' (segunda derivada). Se o trapézio dá exatamente a área, o erro é zero, então a segunda derivada anula-se em algum ponto (teorema do valor médio para erros de quadratura). Com f^{(3)}>0 sabemos que f'' é monotonicamente crescente, então esse zero não pode ser um “toque” sem troca de sinal; ele força a mudança de concavidade — o que é o ponto de inflexão. Então a necessidade está demonstrada.

Passo 5

Análise da afirmação 2 (Simpson 1/3). A regra de Simpson simples (usando a=0, b=1) é exata para todos os polinômios de grau até 3. Em termos de grau de precisão: Simpson tem grau de precisão 3. Portanto, se f é polinomial com \deg f\le 3, Simpson calcula \int_{0}^{1} f exatamente. Isso é a definição de “suficiente”: ser polinomial de grau \le 3 garante exatidão. Assim a afirmação 2 é verdadeira.
Vou dar uma pequena intuição: Simpson combina as avaliações em três pontos (extremos e meio) e, por construção (resolvendo as equações de momentos), cancela o erro até a derivada de ordem 4, deixando exato para grau 3.

Passo 6

Análise da afirmação 3 (Gauss–Legendre com três pontos). Há um resultado padrão: a fórmula de Gauss–Legendre com n pontos é exata para todos polinômios de grau até 2n-1. Para n=3 temos grau de precisão 2\cdot 3 - 1 = 5. Isso significa que qualquer polinômio de grau 4 (ou 5, ou menor) é integrado exatamente por Gauss–Legendre de três pontos. Logo afirmar que “ser polinomial de grau 4 é condição suficiente para a quadratura de Gauss–Legendre com três pontos ser exata” está correta: grau 4 está abaixo do limite 5. Portanto a afirmação 3 é verdadeira.
Observação didática curta: Gauss–Legendre escolhe nós e pesos de forma ótima (resolvendo condições de exatidão para as potências 1,x,\dots,x^{2n-1}), por isso atinge esse grau 2n-1.

Passo 7

Análise da afirmação 4 (composição de Newton–Cotes). Primeiro, o que significa “compor” uma fórmula? Significa aplicar a fórmula base em vários subintervalos e somar os resultados (fórmula composta). Importante: a composição NÃO aumenta o grau de precisão da fórmula base em termos de exatidão algébrica global para polinômios. Se a fórmula base é exata até grau m, a fórmula composta continua a ser exata até grau m (e em geral não mais). Para ver isso com um exemplo simples e concreto, considere a regra do trapézio (grau de precisão 1) aplicada de forma composta em [0,1] com duas subintervalos iguais: h=\tfrac{1}{2}, nós 0,\tfrac{1}{2},1. Para f(x)=x^2 a integral exata é
\int_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{1}{3}.
A fórmula do trapézio composta (com dois subintervalos) dá
\frac{h}{2}\bigl(f(0)+2f(\tfrac{1}{2})+f(1)\bigr) = \frac{1/2}{2}\bigl(0 + 2\cdot (\tfrac{1}{2})^2 + 1\bigr) = \frac{1}{4}\bigl(0 + \tfrac{1}{2} + 1\bigr) = \frac{3}{8},
que é \tfrac{3}{8}\neq \tfrac{1}{3}. Portanto a composição do trapézio não integrou exatamente x^2. Isso mostra que compor uma fórmula de grau 1 não a torna exata para grau 2. Em geral, a composição preserva o grau de precisão da fórmula local; não há ganho ilimitado.
Logo a afirmação 4 é falsa: compor suficientemente uma Newton–Cotes não garante alcançar “qualquer grau de precisão”.

Passo 8

Complemento didático sobre Newton–Cotes: existem Newton–Cotes de alta ordem (fechados ou abertos) que, sem compor, têm graus de precisão mais altos — mas essas fórmulas com muitos nós ficam instáveis (pesos podem alternar de sinal e ocorrer erro de Runge). A afirmação 4 confundiu “aumentar o número de subintervalos (composição)” com “aumentar o número de nós na fórmula base”. Só a segunda opção (usar uma fórmula de Newton–Cotes com mais nós) pode aumentar o grau, mas isso não é “compor”; e mesmo assim tem limitações práticas.

Passo 9

Análise da afirmação 5 (aumentar pontos em Gauss–Legendre). Já mencionei: a fórmula de Gauss–Legendre com n pontos tem grau de precisão 2n-1. Isso significa que, escolhendo n suficientemente grande, podemos integrar exatamente todos os polinômios até qualquer grau finito desejado. Por exemplo, para alcançar exatidão para polinômios de grau m basta tomar n tal que 2n-1\ge m, ou seja n\ge \tfrac{m+1}{2}. Portanto a afirmação 5 é verdadeira.
Intuição: Gauss é “ótima” em termos de quantidade de nós versus grau de precisão; dobrando o número de nós praticamente dobra o grau de precisão menos um.

Resposta

Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro

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