Questão 1

Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).

Sejam \xi uma raiz exata e x_{k} uma raiz aproximada de f(x)=0. Utilizando o Teorema sobre a definição de um critério de parada demonstrado por Demidovich and Maron, avalie o erro absoluto cometido ao considerar x_{k}=1.73 como aproximação da raiz positiva de f(x)=e^{2 x}-32=0 no intervalo [1,2].
|1.73-\xi| \leq

Passo 1

O enunciado pede que eu avalie o erro absoluto cometido ao tomar x_{k}=1{,}73 como aproximação da raiz positiva \xi da equação f(x)=e^{2x}-32=0 no intervalo [1,2].
Informações dadas:
f(x)=e^{2x}-32,\qquad x_{k}=1{,}73,\qquad [1,2].
A quantidade a estimar é |1{,}73-\xi| e devo fornecer uma desigualdade do tipo
|1{,}73-\xi| \leq \;\text{(uma cota computável)}.á

Passo 2

Vou usar o resultado (demonstrado por Demidovich e Maron) que segue do Teorema do Valor Médio: existe \eta entre x_{k} e \xi tal que
f(x_{k})-f(\xi)=f'(\eta)\,(x_{k}-\xi).
Como \xi é raiz, f(\xi)=0, portanto
|x_{k}-\xi|=\frac{|f(x_{k})|}{|f'(\eta)|}.
Se eu conseguir um divisor inferior m>0 tal que |f'(x)|\ge m para todo x\in[1,2], então
|x_{k}-\xi|\le\frac{|f(x_{k})|}{m}.
Isto é justamente o critério de parada/estimativa de erro: só preciso calcular m e |f(x_{k})|.

Passo 3

Calculo a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{2x}-32\big)=2e^{2x}.
Na janela [1,2] a função e^{2x} é crescente, logo o mínimo de |f'(x)| ocorre em x=1. Assim posso tomar
m=\min_{x\in[1,2]}|f'(x)|=f'(1)=2e^{2}.
Numericamente,
m=2e^{2}\approx 2\cdot 7{,}3890560989\approx 14{,}7781121978.

Passo 4

Agora calculo f(1{,}73):
f(1{,}73)=e^{2\cdot 1{,}73}-32=e^{3{,}46}-32.
Observação útil: a raiz exata positiva satisfaz e^{2\xi}=32, ou seja 2\xi=\ln 32 e \ln 32\approx 3{,}4657359028. Usando isso escrevo
e^{3{,}46}=e^{3{,}4657359028-0{,}0057359028}=32\;e^{-0{,}0057359028}.
Aproximo e^{-0{,}0057359028} por série até termos quadráticos:
e^{-0{,}0057359028}\approx 1-0{,}0057359028+\tfrac{1}{2}(0{,}0057359028)^{2}\approx 0{,}9942805581.
Multiplicando por 32:
e^{3{,}46}\approx 32\cdot 0{,}9942805581\approx 31{,}816978.
Portanto
f(1{,}73)=e^{3{,}46}-32\approx 31{,}816978-32=-0{,}183022,
e o valor absoluto é
|f(1{,}73)|\approx 0{,}183022.

Passo 5

Aplico a desigualdade do Passo 2 com os números obtidos:
|1{,}73-\xi|\le\frac{|f(1{,}73)|}{m}\approx\frac{0{,}183022}{14{,}7781121978}.
Faço a divisão:
\frac{0{,}183022}{14{,}7781121978}\approx 0{,}012383.

Passo 6

Interpretação: isso significa que, independentemente de conhecermos \xi precisamente, a teoria garante que a diferença entre 1{,}73 e a raiz exata é no máximo aproximadamente 0{,}012383. Em outras palavras, 1{,}73 está a cerca de uma centésima do valor exato ou melhor — uma boa notícia para a prova! Força aí, tá indo bem.

Resposta

|1{,}73-\xi|\le 0{,}012383

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