Questão 1
Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s).
Sejam
uma raiz exata e
uma raiz aproximada de
. Utilizando o Teorema sobre a definição de um critério de parada demonstrado por Demidovich and Maron, avalie o erro absoluto cometido ao considerar
como aproximação da raiz positiva de
no intervalo
.
□
Passo 1
O enunciado pede que eu avalie o erro absoluto cometido ao tomar
como aproximação da raiz positiva
da equação
no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
A quantidade a estimar é
e devo fornecer uma desigualdade do tipo
Passo 2
Vou usar o resultado (demonstrado por Demidovich e Maron) que segue do Teorema do Valor Médio: existe
entre
e
tal que
Como
é raiz,
, portanto
Se eu conseguir um divisor inferior
tal que
para todo
, então
Isto é justamente o critério de parada/estimativa de erro: só preciso calcular
e
.
Passo 3
Calculo a derivada:
Na janela
a função
é crescente, logo o mínimo de
ocorre em
. Assim posso tomar
Numericamente,
Passo 4
Agora calculo
:
Observação útil: a raiz exata positiva satisfaz
, ou seja
e
. Usando isso escrevo
Aproximo
por série até termos quadráticos:
Multiplicando por
:
Portanto
e o valor absoluto é
Passo 5
Aplico a desigualdade do Passo 2 com os números obtidos:
Faço a divisão:
Passo 6
Interpretação: isso significa que, independentemente de conhecermos
precisamente, a teoria garante que a diferença entre
e a raiz exata é no máximo aproximadamente
. Em outras palavras,
está a cerca de uma centésima do valor exato ou melhor — uma boa notícia para a prova! Força aí, tá indo bem.