6^{\underline{a}} questão: Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-1,0),(0,-1) e (2,3). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange Determine p(1,5).
(a) 2,25
(b) 1,25
(c) 1,55
(d) 1,75
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado fornece os três pontos do plano cartesiano (-1,0), (0,-1) e (2,3) e pede para encontrarmos o polinômio p que passa por esses pontos usando interpolação de Lagrange e, em seguida, determinar p(1,5).
Informações relevantes dadas:
(x_0,y_0)=(-1,0),\qquad (x_1,y_1)=(0,-1),\qquad (x_2,y_2)=(2,3).

Passo 2

Explico a fórmula de Lagrange (passo a passo, sem pressa). Para três pontos com abscissas x_0,x_1,x_2 e ordenadas y_0,y_1,y_2, o polinômio interpolador de grau \le 2 é
p(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é dado por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\neq i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
O que isso faz, em palavras simples: L_i(x) vale 1 em x=x_i e vale 0 em x=x_j para j\neq i. Assim p(x_i)=y_i e o polinômio passa por todos os pontos. Agora vamos calcular cada L_i com os x_i dados.

Passo 3

Calculando L_0(x) para x_0=-1, usando x_1=0 e x_2=2:
denominador:
(x_0-x_1)(x_0-x_2)=(-1-0)(-1-2)=(-1)\cdot(-3)=3.
numerador:
(x-x_1)(x-x_2)=(x-0)(x-2)=x(x-2)=x^2-2x.
Logo
L_0(x)=\frac{x^2-2x}{3}.

Passo 4

Calculando L_1(x) para x_1=0, usando x_0=-1 e x_2=2:
denominador:
(x_1-x_0)(x_1-x_2)=(0-(-1))(0-2)=1\cdot(-2)=-2.
numerador:
(x-x_0)(x-x_2)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2.
Logo
L_1(x)=\frac{x^2-x-2}{-2}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1.

Passo 5

Calculando L_2(x) para x_2=2, usando x_0=-1 e x_1=0:
denominador:
(x_2-x_0)(x_2-x_1)=(2-(-1))(2-0)=3\cdot2=6.
numerador:
(x-x_0)(x-x_1)=(x+1)x=x^2+x.
Logo
L_2(x)=\frac{x^2+x}{6}.

Passo 6

Agora montamos p(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x) com y_0=0,\;y_1=-1,\;y_2=3.
Termos:
y_0L_0(x)=0\cdot L_0(x)=0.
y_1L_1(x)=-1\cdot\Big(-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1\Big)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1.
y_2L_2(x)=3\cdot\frac{x^2+x}{6}=\frac{x^2+x}{2}=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x.
Somando os termos:
p(x)=\Big(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-1\Big)+\Big(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x\Big).
Combine coeficientes:
\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x^2 = x^2,
-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x=0,
constante: -1.
Portanto
p(x)=x^2-1.
(Fazendo um cheque rápido: p(-1)=(-1)^2-1=0, p(0)=-1, p(2)=4-1=3 — confirma os três pontos dados.)

Passo 7

Calcule p(1,5), ou seja p(1,5)=p(1{,}5). Usando p(x)=x^2-1:
p(1{,}5)=(1{,}5)^2-1=2{,}25-1=1{,}25.

Resposta

(b) 1,25

Exercícios relacionados