Considere f tabulada abaixo
x 0 3 8
f(x) 1 4 13
Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o polinômio interpolante de grau 2 através da resolução de um sistema linear.”\n
Informações dadas (valores tabelados):
x=0,\; f(x)=1
x=3,\; f(x)=4
x=8,\; f(x)=13

Passo 2

Vamos representar o polinômio interpolante de grau 2 com coeficientes desconhecidos. Escrevo:
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são números reais que precisamos determinar. Aqui a multiplica x^{2}, b multiplica x e c é o termo constante.

Passo 3

Cada ponto dado gera uma equação ao substituir x em p(x) e igualar a f(x). Substituindo os três pontos obtemos o sistema:
\begin{cases} a\cdot 0^{2}+b\cdot 0 + c = 1,\\[4pt] a\cdot 3^{2}+b\cdot 3 + c = 4,\\[4pt] a\cdot 8^{2}+b\cdot 8 + c = 13. \end{cases}
Simplificando cada linha:
\begin{cases} c = 1,\\[4pt] 9a+3b+c = 4,\\[4pt] 64a+8b+c = 13. \end{cases}]

Passo 4

Da primeira equação temos imediatamente o valor de c:
c = 1.
Isso é bom — um dos coeficientes já conhecido facilita o sistema. Agora substituímos c=1 nas outras duas equações.

Passo 5

Substituindo c=1\) nas equações restantes obtemos: \[\begin{cases} 9a+3b+1 = 4,\\[4pt] 64a+8b+1 = 13. \end{cases}
Subtraindo 1\] de ambos os lados em cada equação: \[\begin{cases} 9a+3b = 3,\\[4pt] 64a+8b = 12. \end{cases}\] Agora simplifico a primeira equação dividindo por \(3:
3a+b = 1.]

Passo 6

Temos o sistema de duas equações em a\) e \(b\): \[\begin{cases} 3a+b = 1,\\[4pt] 64a+8b = 12. \end{cases}
Vou usar substituição: da primeira equação isolamos b\]: \[b = 1-3a.\] Substituo em \(64a+8b=12:
64a + 8(1-3a) = 12.
Agora calculo passo a passo:
64a + 8 -24a = 12,
(64a-24a) + 8 = 12,
40a + 8 = 12,
40a = 12-8,
40a = 4,
a = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}.]

Passo 7

Com a=\dfrac{1}{10}, volto a b = 1-3a:
b = 1 - 3\cdot\frac{1}{10} = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}.
E já tínhamos c=1. Podemos checar rapidamente que esses coeficientes reproduzem os pontos: para x=3,
p(3)=\frac{1}{10}\cdot 9 + \frac{7}{10}\cdot 3 + 1 = \frac{9}{10} + \frac{21}{10} + 1 = \frac{30}{10}+1 = 3+1 = 4,
e para x=8,
p(8)=\frac{1}{10}\cdot 64 + \frac{7}{10}\cdot 8 + 1 = \frac{64}{10} + \frac{56}{10} + 1 = \frac{120}{10}+1 = 12+1 = 13.
A verificação confere.

Resposta

p(x)=\dfrac{1}{10}x^{2}+\dfrac{7}{10}x+1

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