Questāo 3 Ainda nāo respondida Vale 0,50 ponto(s).
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Considere a função definida em \mathbb{R}-\{3\} dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x, & \text { se } & x<1 \\\ x^{2}, & \text { se } & 1 \leq x<3 \\\ \sqrt{x}, & \text { se } & x>3 \end{array}\right.
É correto afirmar que:
Escolha uma opção:
a. \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)
b. A função f é contínua em todo o seu domínio.
c. \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)
d. A função f não é contínua em x=3.
e. A função f não é contínua em x=1.

Passo 1

O enunciado define a função em \mathbb{R}\setminus\{3\}\) por \[f(x)= \begin{cases} x, & x<1,\\\ x^{2}, & 1\le x<3,\\\ \sqrt{x}, & x>3. \end{cases}
Queremos verificar limites laterais em x=1\] e \(x=3 e a continuidade nos pontos do domínio.

Passo 2

Calcular \lim_{x\to1^-}f(x), \lim_{x\to1^+}f(x) e f(1):
Para x<1 vale f(x)=x, então
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x=1.
Para x>1 mas x<3 vale f(x)=x^2, logo
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x^2=1.
E como f(1)=1^2=1, a função é contínua em x=1.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to3^-}f(x) e \lim_{x\to3^+}f(x):
Para x<3 vale f(x)=x^2, então
\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^-}x^2=9.
Para x>3 vale f(x)=\sqrt{x}, logo
\lim_{x\to3^+}f(x)=\lim_{x\to3^+}\sqrt{x}=\sqrt{3}\approx1{,}732.
Esses limites não coincidem, mas como x=3 não pertence ao domínio, não precisamos de valor de f(3).

Passo 4

Verificar continuidade no domínio:
  • Em cada intervalo aberto (-\infty,1), [1,3) e (3,\infty), f é dada por expressões contínuas (polinomial ou raiz).
  • Em x=1 mostramos que os limites lateral esquerdo e direito coincidem e igualam f(1).
  • Em x=3 não faz sentido falar em continuidade porque 3\notin domínio.
Logo, f é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

b. A função f é contínua em todo o seu domínio.

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