Questāo 3 Ainda nāo respondida Vale 0,50 ponto(s).
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Considere a função definida em \mathbb{R}-\{3\} dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x, & \text { se } & x<1 \\\ x^{2}, & \text { se } & 1 \leq x<3 \\\ \sqrt{x}, & \text { se } & x>3 \end{array}\right.
É correto afirmar que:
Escolha uma opção:
a. \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)
b. A função f é contínua em todo o seu domínio.
c. \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)
d. A função f não é contínua em x=3.
e. A função f não é contínua em x=1.
Passo 1
O enunciado define a função em \mathbb{R}\setminus\{3\}\) por
\[f(x)= \begin{cases} x, & x<1,\\\ x^{2}, & 1\le x<3,\\\ \sqrt{x}, & x>3. \end{cases}
Queremos verificar limites laterais em x=1\] e \(x=3 e a continuidade nos pontos do domínio.
Passo 2
Calcular \lim_{x\to1^-}f(x), \lim_{x\to1^+}f(x) e f(1):
Para x<1 vale f(x)=x, então
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x=1.
Para x>1 mas x<3 vale f(x)=x^2, logo
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x^2=1.
E como f(1)=1^2=1, a função é contínua em x=1.
Passo 3
Calcular \lim_{x\to3^-}f(x) e \lim_{x\to3^+}f(x):
Para x<3 vale f(x)=x^2, então