Resolva:
\int x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo da matéria é a técnica de substituição (u-substituição) em integrais, que usamos quando identificamos uma parte da função cuja derivada aparece multiplicando no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2},
porque a derivada de x^{2} é 2x, e vemos um x\,dx no integrando.

Passo 3

Calculamos o diferencial de u:
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrevemos a integral em termos de u:
\int x \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \sin(u)\,du.

Passo 5

Integramos \sin(u):
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Então
\frac{1}{2}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{1}{2}\cos(u) + C.

Passo 6

Voltando à variável original x, temos u = x^{2}. Logo a antiderivada é
-\frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

-\frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C

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