O valor do limite \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{\ln x-\ln 2}{x-2}\right) é:
Escolha uma opção:
a. 0
b. 1 / \ln 2
c. \ln 2
d. 2
e. 1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to2}\frac{\ln x - \ln 2}{x-2}
Esse tipo de limite normalmente leva a uma forma indeterminada e pode ser resolvido usando a Regra de L’Hôpital ou reconhecendo que é a defini\c{c}~ao de derivada da fun\c{c}~ao f(x)=\ln x em x=2.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo diretamente x=2:
\ln 2 - \ln 2 = 0 \quad\text{e}\quad 2-2 = 0
Logo temos a forma indeterminada 0/0, o que justifica o uso da Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em rela\c{c}~ao a x:
  • Derivada do numerador \ln x - \ln 2 `e \frac{d}{dx}(\ln x) - 0 = \frac{1}{x}.
  • Derivada do denominador x-2 `e 1.
    Portanto
\lim_{x\to2}\frac{\ln x - \ln 2}{x-2} =\lim_{x\to2}\frac{1/x}{1} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Também poderíamos notar que
\frac{\ln x - \ln 2}{x-2}
é exatamente a definição de f'(2) para f(x)=\ln x, e sabemos que f'(x)=1/x, logo f'(2)=1/2.

Resposta

e. 1/2

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