Questão 1

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Considere o problema da corda vibratória regida pelo PVC abaixo
P.V.C: \left\{\begin{array}{l}u_{t t}=4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad 0<x<\pi \text { e } t>0 \\\ u(0, t)=0=u(\pi, t), \quad t \geq 0 \\\ u(x, 0)=f(x)=\frac{1}{10} \sin (5 x), \quad 0 \leq x \leq \pi \\\ u_{t}(x, 0)=0, \quad 0 \leq x \leq \pi .\end{array}\right.
(1) A solução formal desse problema obtida pelo método de separação de variáveis é
u(x, t)=\frac{1}{10} \sin (5 x) \cos (10 t) .
(2) A solução de A’Lambert pode ser escrita como:
u(x, t)=\frac{1}{20}[\sin (5 x-10 t)+\sin (5 x+10 t)] .
As alternativas verdadeiras são:
a. (1)
b. (2)

Passo 1

O enunciado dá o problema da corda vibrando segundo a PDE
u_{tt}=4\,u_{xx},\quad 0<x<\pi,\;t>0
com condições de contorno u(0,t)=u(\pi,t)=0 e condições iniciais
u(x,0)=f(x)=\tfrac{1}{10}\sin(5x),\quad u_{t}(x,0)=0.
O conteúdo necessário é o método de separação de variáveis para PDE de onda com BC de Dirichlet e, em seguida, a fórmula de d’Alembert.

Passo 2

Pela separação de variáveis assumimos u(x,t)=X(x)\,T(t). Isso leva às ODEs
\frac{T''(t)}{4\,T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
com X(0)=X(\pi)=0. Os autovalores são \lambda_n=n^2 e os modos são X_n(x)=\sin(nx). A solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\bigl(A_n\cos(2n\,t)+B_n\sin(2n\,t)\bigr)\sin(nx).
Como f(x)=\tfrac{1}{10}\sin(5x) e u_{t}(x,0)=0, só aparece n=5 com A_5=\tfrac{1}{10} e B_5=0, logo
u(x,t)=\tfrac{1}{10}\sin(5x)\cos(10t).
Portanto a fórmula (1) está correta.

Passo 3

Pela fórmula de d’Alembert para condições iniciais u(x,0)=f(x), u_t(x,0)=0 e velocidade c=2, tem‐se
u(x,t)=\tfrac12\bigl[f(x-2t)+f(x+2t)\bigr].
Como f(x)=\tfrac{1}{10}\sin(5x), obtemos
u(x,t)=\tfrac{1}{20}\bigl[\sin(5x-10t)+\sin(5x+10t)\bigr].
Verifica‐se que isso satisfaz PDE, ICs e as BCs. Portanto a fórmula (2) também é correta.

Passo 4

Para ver a equivalência entre (1) e (2) usamos a identidade
\sin(a)+\sin(b)=2\sin\!\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{a-b}{2}\bigr)
com a=5x-10t e b=5x+10t. Isso reduz
\tfrac{1}{20}\bigl[\sin(a)+\sin(b)\bigr] =\tfrac{1}{10}\sin(5x)\cos(10t),
mostrando que as duas expressões coincidem.

Resposta

(1) e (2) são verdadeiras.

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