Resolva os sistemas por escalo namento.
\left{ \begin{array}{l}x+y-z+t=0 \\x-y+z-t=2 \\-x+y+z-t=-4 \\x-y-z-t=-4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + y - z + t = 0,\\\ x - y + z - t = 2,\\\\ -\,x + y + z - t = -4,\\\ x - y - z - t = -4 \end{cases}
usando o método de escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e operar linhas para triangularizar.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada do sistema, temos
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 2\\\\ -1& 1 & 1 & -1 & -4\\\\ 1 & -1 & -1 & -1 & -4 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo em x:
R2 \leftarrow R2 - R1,
R3 \leftarrow R3 + R1,
R4 \leftarrow R4 - R1.
O resultado é
\begin{cases} \text{R1: }x + y - z + t = 0,\\\ \text{R2: }-2y + 2z - 2t = 2,\\\ \text{R3: }2y = -4,\\\ \text{R4: }-2y - 2t = -4. \end{cases}

Passo 4

Da equação R3, temos
2y = -4 \quad\Longrightarrow\quad y = -2.
Substituindo y=-2 em R2 e em R4:
em R2: -2(-2) + 2z - 2t = 2
4 + 2z - 2t = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2z - 2t = -2 \quad\Longrightarrow\quad z - t = -1;
em R4: -2(-2) - 2t = -4
4 - 2t = -4 \quad\Longrightarrow\quad -2t = -8 \quad\Longrightarrow\quad t = 4.

Passo 5

Com t = 4 na equação z - t = -1, obtemos
z - 4 = -1 \quad\Longrightarrow\quad z = 3.

Passo 6

Finalmente, substituímos y=-2, z=3, t=4 na primeira equação
x + y - z + t = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + (-2) - 3 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Resposta

(x,y,z,t) = (1,\,-2,\,3,\,4).

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