QUESTÃO 3)
Considere a função tabela:
-2
-1
0
2
-3
2
1
5
a) (3 pontos) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) (1 ponto) Existe um polinômio interpolador de grau 2 cujo gráfico passa por esses pontos? Justifique sua resposta.
c) (2 pontos) Existe um polinômio de grau 4 cujo gráfico passa por esses pontos? Se existir, dê um exemplo. Esse polinômio é único?
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-2 | -1 | 0 | 2 |
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-3 | 2 | 1 | 5 |
b) (1 ponto) Existe um polinômio interpolador de grau 2 cujo gráfico passa por esses pontos? Justifique sua resposta.
c) (2 pontos) Existe um polinômio de grau 4 cujo gráfico passa por esses pontos? Se existir, dê um exemplo. Esse polinômio é único?
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com quatro pontos e faz três perguntas claras. Vou listar tudo que foi fornecido e o que é pedido (peguei os pontos da tabela do enunciado).
Pontos dados:
O enunciado pede:
(a) Determinar o polinômio interpolador na forma de Lagrange que passa por todos esses pontos.
(b) Verificar se existe um polinômio interpolador de grau que passe por esses quatro pontos e justificar.
(c) Verificar se existe um polinômio de grau que passe por esses pontos; se existir, dar um exemplo e dizer se esse polinômio é único.
(a) Determinar o polinômio interpolador na forma de Lagrange que passa por todos esses pontos.
(b) Verificar se existe um polinômio interpolador de grau
(c) Verificar se existe um polinômio de grau
Passo 2
Vou explicar a fórmula de Lagrange (a “ferramenta” que responde (a)) de um jeito direto e didático.
Teorema (forma de Lagrange): dado um conjunto de
pontos com abscissas distintas
e valores
, o polinômio interpolador de grau no máximo
é
onde cada polinômio-base
é
O que isso faz, em palavras simples:
é construído para valer
em
e
em todos os outros
(
). Multiplicando por
e somando, obtemos um polinômio que tem os valores pedidos em cada nó.
Aqui temos quatro pontos, logo
e o interpolador de Lagrange terá forma com
. Agora vou calcular explicitamente cada
para os pontos dados.
Passo 3
Calcular os
usando os
fornecidos.
Os nós são
.
- Para
( ):
Calcule os denominadores:
. Produto
.
Logo
Logo
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( ):
Esses
satisfazem
(1 se
, 0 caso contrário).
Passo 4
Agora monto o polinômio de Lagrange somando
:
Substituindo os valores
:
Posso deixar na forma de Lagrange desta maneira (que responde a parte (a) pedindo a forma de Lagrange). Mas é útil simplificar para uma forma polinomial padrão.
Passo 5
Vou simplificar
expandindo os fatores (mostrando as contas para que dê para reproduzir na prova sem calculadora).
Primeiro expando os produtos já usados antes:
Multiplico cada termo pelos coeficientes obtidos no Passo 4:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Agora somo coeficientes coluna a coluna.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Portanto, após simplificar,
Verificação rápida (útil na prova):
. Confere com os pontos dados.
Isto responde (a) (forma de Lagrange e forma simplificada).
Passo 6
Parte (b): existe um polinômio de grau
passando por esses quatro pontos?
Raciocínio e justificação didática:
- Um polinômio de grau
(uma parábola) tem apenas três parâmetros , então em geral só pode ajustar três pontos arbitrários. Aqui temos quatro pontos com abscissas distintas; só se os quatro pontos estivessem alinhados sobre uma mesma parábola isso seria possível. - Outra forma, mais teórica: sobre nós já calculamos o interpolador único de grau no máximo
, que é . Esse polinômio tem coeficiente de igual a (não nulo). Se existisse um polinômio quadrático que coincidisse com esses quatro pontos, então a diferença seria um polinômio de grau no máximo que teria as quatro raízes . Mas um polinômio de grau não pode ter quatro raízes distintas a menos que seja o polinômio zero; isso implicaria e portanto teria grau , contradizendo o coeficiente de não nulo. Logo não existe tal quadrática. - Se quiser ver por cálculo direto: suponha
. Usando dá . Usando e obtém-se um sistema para que leva a . Mas então . Contradição.
Conclusão: não existe polinômio de grau
que passe por esses quatro pontos.
Passo 7
Parte (c): existe um polinômio de grau
que passe por esses pontos? É único?
Explicação didática:
- Observe que o polinômio interpolador de grau
que encontramos é . Se tomarmos a função
ela tem grau
e vale
em cada um dos nós
. Portanto, para qualquer constante
o polinômio
também passa por todos os quatro pontos (porque
cancela o acréscimo nesses nós). Se escolhermos
,
terá grau
. Assim polinômios de grau
que interpolem os pontos existem e, de fato, existem infinitos: um para cada
.
Exemplo concreto (tomando
):
então
que é um polinômio de grau
passando por todos os pontos dados.
Sobre unicidade: não é único. Como mostrei, pode-se adicionar qualquer múltiplo de
e ainda obter um polinômio que passa pelos mesmos nós; portanto há infinitos polinômios de grau
(e de qualquer grau
) que interpolam os mesmos quatro pontos.
Resposta
(a)
onde
e, na forma simplificada,
(b) Não. Não existe polinômio de grau
que passe por esses quatro pontos (o interpolador único de grau
tem termo
com coeficiente
, logo não pode ser reduzido a grau
; ver justificativa no texto).
(c) Sim. Um exemplo é
pois
com
. Não é único: qualquer
(interpreta
) interpola os pontos; para
tem grau
.