Questão 1
Alnda nåo respondida
Vale 10,00 ponto(s).
Marcar questao
Um anel uniformemente carregado de raio \mathrm{d} 1=1,00 \mathrm{e} \cdot 01 \mathrm{~m} tem uma carga total de \mathrm{q} 1=5,60 \mathrm{e}-05 \mathrm{C}. Encontre o campo elétrico no eixo do anel afastado do seu centro a uma distância de \mathrm{d} 2=0,30 metros. Use
k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}
e dê a resposta em Newtons por Coulomb.
Escolha uma opçăo:
◯ A. nenhuma das outras
◯ B. 3,14 \mathrm{e}+06
◯ C. 6,10 \mathrm{e}+06
◯ D. 4,78 \mathrm{e}+06

Passo 1

O enunciado fornece (peguei estes números do enunciado):
  • Raio do anel: d_1 = 1{,}00\times10^{-1}\\ \mathrm{m}.
  • Carga total no anel: q_1 = 5{,}60\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
  • Ponto no eixo a uma distância do centro: d_2 = 0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Constante eletrostática: k = 9\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
O que a questão pede:
  • Calcular o campo elétrico no eixo do anel, no ponto localizado a d_2=0{,}30\\ \mathrm{m} do centro, e dar a resposta em \mathrm{N/C}.

Passo 2

Fórmula do campo elétrico no eixo de um anel carregado (resumo e derivação curta e didática).
Considere um anel de raio R com carga total q uniformemente distribuída. Em um ponto do eixo a uma distância x do centro do anel:
  • Cada elemento de carga dq produz um campo cujo componente radial lateral se cancela por simetria; sobra apenas a componente axial (ao longo do eixo).
  • A contribuição axial de um elemento é proporcional a x e inversamente proporcional a (x^{2}+R^{2})^{3/2}.
  • Integrando todos os dq ao longo do anel (a integral só soma dq para dar q), obtém-se a expressão conhecida:
E = k\,\dfrac{q\,x}{\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3/2}},
onde:
  • E é a magnitude do campo elétrico no ponto do eixo,
  • k é a constante eletrostática,
  • q é a carga total do anel,
  • x é a distância do ponto ao centro do anel ao longo do eixo,
  • R é o raio do anel.

Passo 3

Identificação das variáveis no nosso problema:
  • R = d_1 = 1{,}00\times10^{-1}\\ \mathrm{m}.
  • q = q_1 = 5{,}60\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
  • x = d_2 = 0{,}30\\ \mathrm{m}.
    Usaremos a fórmula do Passo 2 com estes valores.

Passo 4

Cálculo do denominador \left(x^{2}+R^{2}\right)^{3/2}.
Primeiro calcule x^{2}+R^{2}:
x^{2}+R^{2} = (0{,}30)^{2} + (0{,}10)^{2} = 0{,}09 + 0{,}01 = 0{,}10.
Agora eleve à potência 3/2:
\left(0{,}10\right)^{3/2} = \left(10^{-1}\right)^{3/2} = 10^{-3/2} = 10^{-1{,}5}.
Numericamemente,
\left(0{,}10\right)^{3/2} = 0{,}0316227766\quad(\text{aproximadamente}).

Passo 5

Cálculo do numerador k\,q\,x.
Primeiro k\cdot q:
9\times10^{9}\cdot 5{,}60\times10^{-5} = (9\cdot5{,}60)\times10^{9-5} = 50{,}4\times10^{4} = 5{,}04\times10^{5}.
Agora multiplica por x=0{,}30:
5{,}04\times10^{5}\cdot0{,}30 = 1{,}512\times10^{5}.

Passo 6

Divisão para obter E:
E = \dfrac{1{,}512\times10^{5}}{0{,}0316227766} .
Para facilitar, note que dividir por 0{,}0316227766 é multiplicar por 31{,}6227766:
E \approx 1{,}512\times10^{5}\times31{,}6227766 \approx 4{,}7808\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando com três algarismos significativos:
E \approx 4{,}78\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: como a carga é positiva, o campo aponta para fora ao longo do eixo (afastando-se do centro).

Passo 7

Verificação com as alternativas fornecidas: a alternativa que corresponde a 4{,}78\times10^{6} é a alternativa D.

Resposta

4{,}78\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}

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