Questão 3

As alturas de 1.000 alunos de um colégio têm distribuição normal com média 160 cm e desvio padrão 10 cm .
a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 170 cm ? ( 1,50 pontos)

Solução:

Seja Y a v.a. altura. Do enunciado, Y sim N(160,10^2). A probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso tenha altura superior a 170 cm é:
P(Y>170)=P(Y-16010>170-16010)=P(Z>1)=0,50-P(0<Z<1)=0,50-0,34=0,16.
Portanto, o número esperado de alunos com altura superior a 170 cm é 1000 cdot 0,16=160.
Observações: 0,25 por definir a v.a. altura, 0,50 por encontrar P(Z>1), 0,50 por calcular essa probabilidade e 0,25 por calcular o úmero de alunos.
b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75 % das alturas dos alunos? ( 1,50 pontos)

Solução:

Queremos o valor de k que torna a igualdade P(|Y-160|<k)=0,75 verdadeira. Note que
|Y-160|<k Leftrightarrow 160-k<Y<160+k Leftrightarrow 160-k-16010<Y-16010<160+k-16010=-k10<Z<k10.
Portanto,
P(|Y-160|<k)=P(-k10<Z<k10)=2 P(0<Z<k10)
Impondo 2 P(0<Z<k10)=0,75, concluímos que P(0<Z<k10)=0,375. Via tabela obtemos k10=1,15, o que nos dá k=11,5. Portanto, 75 % dos alunos têm alturas variando de 160-11,5=148,5 cm a 160+11,5=171,5 cm.
Observações: 0,50 por encontrar P(|Y-160|<k)=P(-k10<Z<k10), 0,50 por encontrar P(0<Z<k10)=0,375,0,25 por determinar k e 0,25 por encontrar o intervalo.

Passo 1

O enunciado diz que as alturas de 1000 alunos seguem uma distribuição normal com média 160 cm e desvio-padrão 10 cm. Chamamos essa v.a. de Ysim N(160,10^2).
Conteúdo: uso da padronização em distribuição normal e leitura de tabela da normal padrão.

Passo 2

Para a parte (a), queremos
P(Y>170)
Padronizando,
P(Y>170) = Pl(Z>170-16010r) = P(Z>1)
Da tabela da normal padrão, P(Z>1)approx0,1587.

Passo 3

O número esperado de alunos com altura superior a 170 cm é
1000times P(Y>170)approx1000times0,1587=158,7approx159
Arredondando (tabela usualmente dá 0,16), obtemos cerca de 160 alunos.

Passo 4

Para a parte (b), buscamos k>0 tal que
Pl(|Y-160|<kr)=0,75
Isto equivale a
Pl(-k10<Z<k10r)=0,75

Passo 5

Como a curva é simétrica,
Pl(0<Z<k10r)=0,375
Da tabela, o valor de z que dá área 0,375 entre 0 e z é zapprox1,15. Logo
k10=1,15 Rightarrow k=11,5 cm

Passo 6

Portanto, o intervalo simétrico em torno de 160 cm que contém 75 % das alturas é
[160-11,5,;160+11,5]=[148,5 cm,;171,5 cm]

Resposta

(a) Aproximadamente 160 alunos têm altura superior a 170 cm.
(b) O intervalo simétrico que contém 75 % das alturas é de 148,5 cm a 171,5 cm.

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