Questão 1 - Uma amostra de residências foi selecionada. São registradas a área aquecida das casas (m2): (5pts)
\begin{array}{llllllllllllllllllllll} 102 & 48 & 61 & 44 & 52 & 42 & 54 & 220 & 59 & 37 & 47 & 59 & 48 & 178 & 46 & 58 & 168 & 42 & 47 & 48 & 150 & 48 \\\\ 41 & \end{array}
a) Calcule a média, moda, mediana e os quartis (Q1 e Q3).
b) Calcule a variância e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de n=23 residências com a área aquecida em m^{2} e pede as medidas de tendência central (média, moda, mediana, quartis) e de dispersão (variância e desvio padrão). Vamos primeiro ordenar os dados para facilitar alguns cálculos.

Passo 2

Ordenando os 23 valores em ordem crescente e somando, obtemos:
37, 41, 42, 42, 44, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 52, 54, 58, 59, 59, 61, 102, 150, 168, 178, 220
A soma dos valores é
\sum_{i=1}^{23} x_i = 1699
Logo, a média aritmética é
\bar{x} = \frac{1}{23}\sum_{i=1}^{23}x_i = \frac{1699}{23}\approx 73,87

Passo 3

Para achar a mediana de uma amostra ímpar, usamos o elemento de posição \frac{n+1}{2}=\frac{24}{2}=12. O 12º valor ordenado é 48. Portanto
\text{Mediana} = 48.

Passo 4

A moda é o valor que mais se repete. Observando a lista ordenada, 48 aparece 4 vezes, mais do que qualquer outro. Assim,
\text{Moda} = 48.

Passo 5

Os quartis dividem a amostra em quatro partes iguais. Como n é ímpar, excluímos a mediana ao formar as metades. A metade inferior tem 11 valores (posições 1 a 11) e a superior também 11 (posições 13 a 23).
Na metade inferior o 6º valor é o quartil 1:
Q_1 = 46.
Na metade superior o 6º valor é o quartil 3:
Q_3 = 61.

Passo 6

Para a variância populacional usamos
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 \;-\;\bar{x}^2.
Calculamos \sum x_i^2=185143, portanto
\sigma^2 = \frac{185143}{23} - (73,8696)^2 \approx 2593,0.
E o desvio padrão é
\sigma = \sqrt{\sigma^2}\approx 50,92.

Resposta

Média \bar{x}\approx 73,87
Moda =48
Mediana =48 Q_1=46 Q_3=61
Variância \approx 2593,0
Desvio padrão \approx 50,92

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