Questão 1
Para analisar o comportamento do mercado de eletrodomésticos, as marcas foram classificadas em três categorias: A, B e C. Um estudo sobre os hábitos de troca de marca entre consumidores revelou o seguinte quadro de probabilidades condicionais, válido sempre que um consumidor típico adquire um novo eletrodoméstico:
Proprietário da marca | Troca para A | Troca para B | Troca para C
A
\mid 0,50
\mid 0,30
\mid 0,20
B
\mid 0,25
\mid 0,60
\mid 0,15
C
\mid 0,40
0,30
0,30
Por exemplo: para \mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}, \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_\{\mathrm{i}+1\} \mid \mathrm{A} \_\mathrm{i}\right)=0,50 ; \mathrm{P}\left(\mathrm{C} \_\{\mathrm{i}+1\} \mid \mathrm{A} \_\mathrm{i}\right)=0,20; \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_\{\mathrm{i}+1\} \mid \mathrm{C} \_\mathrm{i}\right)=0,40. A compra do primeiro eletrodoméstico segue as seguintes
probabilidades: \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_1\right)=0,50, \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \_1\right)=0,30, \mathrm{P}\left(\mathrm{C} \_1\right)=0,20.
Calcule as probabilidades de:
(a) Comprar o segundo eletrodoméstico da cada marca: \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_2\right), \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \_2\right), \mathrm{P}\left(\mathrm{C} \_2\right).
(b) Comprar o terceiro eletrodoméstico da marca A , ou seja, \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_3\right).
(c) Ter comprado o primeiro eletrodoméstico da marca A , dado que o segundo também foi da marca A, ou seja, P(A_1|A_2).
Passo 1
O enunciado descreve um modelo de cadeia de Markov com três estados (A, B, C). A distribuição inicial é \pi^{(1)} = \bigl(P(A_1),P(B_1),P(C_1)\bigr) = (0{,}50,\,0{,}30,\,0{,}20)
e a matriz de transição P tem entradas
onde, por exemplo, P_{AB}=P(B_{i+1}\mid A_i)=0{,}30. Vamos usar a lei da probabilidade total para achar a distribuição no tempo 2 e no tempo 3, e depois a fórmula de Bayes para a parte (c).
Passo 2
Para obter \pi^{(2)} = \bigl(P(A_2),P(B_2),P(C_2)\bigr), aplicamos