Questão 1
Para analisar o comportamento do mercado de eletrodomésticos, as marcas foram classificadas em três categorias: A, B e C. Um estudo sobre os hábitos de troca de marca entre consumidores revelou o seguinte quadro de probabilidades condicionais, válido sempre que um consumidor típico adquire um novo eletrodoméstico:
Proprietário da marca | Troca para A | Troca para B | Troca para C
A \mid 0,50 \mid 0,30 \mid 0,20
B \mid 0,25 \mid 0,60 \mid 0,15
C \mid 0,40 0,30 0,30
Por exemplo: para \mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}, \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_\{\mathrm{i}+1\} \mid \mathrm{A} \_\mathrm{i}\right)=0,50 ; \mathrm{P}\left(\mathrm{C} \_\{\mathrm{i}+1\} \mid \mathrm{A} \_\mathrm{i}\right)=0,20;
\mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_\{\mathrm{i}+1\} \mid \mathrm{C} \_\mathrm{i}\right)=0,40. A compra do primeiro eletrodoméstico segue as seguintes
probabilidades: \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_1\right)=0,50, \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \_1\right)=0,30, \mathrm{P}\left(\mathrm{C} \_1\right)=0,20.
Calcule as probabilidades de:
(a) Comprar o segundo eletrodoméstico da cada marca: \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_2\right), \mathrm{P}\left(\mathrm{B} \_2\right), \mathrm{P}\left(\mathrm{C} \_2\right).
(b) Comprar o terceiro eletrodoméstico da marca A , ou seja, \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \_3\right).
(c) Ter comprado o primeiro eletrodoméstico da marca A , dado que o segundo também foi da marca A, ou seja, P(A_1|A_2).

Passo 1

O enunciado descreve um modelo de cadeia de Markov com três estados (A, B, C). A distribuição inicial é \pi^{(1)} = \bigl(P(A_1),P(B_1),P(C_1)\bigr) = (0{,}50,\,0{,}30,\,0{,}20)
e a matriz de transição P tem entradas
P = \begin{pmatrix} 0{,}50 & 0{,}30 & 0{,}20\\\\ 0{,}25 & 0{,}60 & 0{,}15\\\\ 0{,}40 & 0{,}30 & 0{,}30 \end{pmatrix}
onde, por exemplo, P_{AB}=P(B_{i+1}\mid A_i)=0{,}30. Vamos usar a lei da probabilidade total para achar a distribuição no tempo 2 e no tempo 3, e depois a fórmula de Bayes para a parte (c).

Passo 2

Para obter \pi^{(2)} = \bigl(P(A_2),P(B_2),P(C_2)\bigr), aplicamos
P(X_{2}=s)=\sum_{r\in\{A,B,C\}}P(X_{1}=r)\,P_{r s}.
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P(A_2) =0{,}50\cdot0{,}50+0{,}30\cdot0{,}25+0{,}20\cdot0{,}40 =0{,}25+0{,}075+0{,}08 =0{,}405,
P(B_2) =0{,}50\cdot0{,}30+0{,}30\cdot0{,}60+0{,}20\cdot0{,}30 =0{,}15+0{,}18+0{,}06 =0{,}39,
P(C_2) =0{,}50\cdot0{,}20+0{,}30\cdot0{,}15+0{,}20\cdot0{,}30 =0{,}10+0{,}045+0{,}06 =0{,}205.

Passo 3

Para achar P(A_3), usamos novamente \pi^{(3)}=\pi^{(2)}P e extraímos a primeira componente:
P(A_3) =0{,}405\cdot0{,}50+0{,}39\cdot0{,}25+0{,}205\cdot0{,}40 =0{,}2025+0{,}0975+0{,}082 =0{,}382.

Passo 4

Queremos P(A_1\mid A_2). Pela fórmula de Bayes,
P(A_1\mid A_2) =\frac{P(A_2\mid A_1)\,P(A_1)}{P(A_2)} =\frac{0{,}50\times0{,}50}{0{,}405} =\frac{0{,}25}{0{,}405} \approx0{,}6173.

Resposta

(a) P(A_2)=0{,}405,\quad P(B_2)=0{,}39,\quad P(C_2)=0{,}205
(b) P(A_3)=0{,}382
(c) P(A_1\mid A_2)\approx0{,}6173

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