Três casais e duas pessoas solteiras foram convidados para participar de um seminário sobre investimentos e concordaram em participar. Suponha que a probabilidade de qualquer casal ou pessoa chegar atrasada é 0,4 (um casal se desloca junto no mesmo veículo, então ambas as pessoas estarão atrasadas ou chegarão na hora marcada). Presuma que casais diferentes e pessoas diferentes estejam atrasados ou cheguem na hora, independentemente um do outro. Seja X = quantidade de pessoas que chegam atrasadas ao seminário.
a) Determine a função probabilidade de X .
[Dica: chame os três casais de 1, 2 e 3 e as duas pessoas de 4 e 5.]
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de
e utilize-a para calcular
.
a) Determine a função probabilidade de X .
[Dica: chame os três casais de 1, 2 e 3 e as duas pessoas de 4 e 5.]
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de
Passo 1
Temos três casais e duas pessoas solteiras, cada casal chega atrasado (ou não) junto, com probabilidade de atraso
, independente dos outros; cada solteiro atrasa com probabilidade
, também independente. Chamamos de
o número de casais atrasados e de
o número de solteiros atrasados. Como cada casal atrasado gera 2 pessoas atrasadas e cada solteiro gera 1, definimos
O que precisamos é (a) achar a função probabilidade de
por convolução de
e
, e (b) obter a função de distribuição acumulada e calcular
.
Passo 2
A variável
segue distribuição binomial com parâmetros
e
:
A variável
segue binomial com
e
:
Passo 3
Para obter
usamos que
e que
e
são independentes. Assim
onde entendemos
se
.
Passo 4
Calculando termo a termo (com
e
dos passos anteriores), obtemos para
:
Passo 5
A função de distribuição acumulada é
Para usar no cálculo pedido, precisamos de
e
:
Passo 6
Logo
Resposta
(a) Para
,
com
se
. Numericamente:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
(b) A função acumulada é
e