Três casais e duas pessoas solteiras foram convidados para participar de um seminário sobre investimentos e concordaram em participar. Suponha que a probabilidade de qualquer casal ou pessoa chegar atrasada é 0,4 (um casal se desloca junto no mesmo veículo, então ambas as pessoas estarão atrasadas ou chegarão na hora marcada). Presuma que casais diferentes e pessoas diferentes estejam atrasados ou cheguem na hora, independentemente um do outro. Seja X = quantidade de pessoas que chegam atrasadas ao seminário.
a) Determine a função probabilidade de X .
[Dica: chame os três casais de 1, 2 e 3 e as duas pessoas de 4 e 5.]
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de X e utilize-a para calcular \mathrm{P}(2 \leq \mathrm{X} \leq 6).

Passo 1

Temos três casais e duas pessoas solteiras, cada casal chega atrasado (ou não) junto, com probabilidade de atraso 0,4, independente dos outros; cada solteiro atrasa com probabilidade 0,4, também independente. Chamamos de C o número de casais atrasados e de S o número de solteiros atrasados. Como cada casal atrasado gera 2 pessoas atrasadas e cada solteiro gera 1, definimos
X = 2C + S.
O que precisamos é (a) achar a função probabilidade de X por convolução de C e S, e (b) obter a função de distribuição acumulada e calcular \mathrm{P}(2\le X\le6).

Passo 2

A variável C segue distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=0,4:
P(C=c)=\binom{3}{c}(0,4)^c(0,6)^{3-c},\quad c=0,1,2,3.
A variável S segue binomial com n=2 e p=0,4:
P(S=s)=\binom{2}{s}(0,4)^s(0,6)^{2-s},\quad s=0,1,2.

Passo 3

Para obter P(X=x) usamos que X=2C+S e que C e S são independentes. Assim
P(X=x) =\sum_{c=0}^{3}P(C=c)\,P\bigl(S=x-2c\bigr),
onde entendemos P(S=k)=0 se k\notin\{0,1,2\}.

Passo 4

Calculando termo a termo (com P\text{(C)} e P(S) dos passos anteriores), obtemos para x=0,1,\dots,8: P(X=0)=0,07776. P(X=1)=0,10368. P(X=2)=0,19008. P(X=3)=0,20736. P(X=4)=0,17280. P(X=5)=0,13824. P(X=6)=0,06912. P(X=7)=0,03072. P(X=8)=0,01024.

Passo 5

A função de distribuição acumulada é
F(x)=P(X\le x)=\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}P(X=k).
Para usar no cálculo pedido, precisamos de F(1) e F(6):
F(1)=P(X=0)+P(X=1)=0,07776+0,10368=0,18144,
F(6)=\sum_{k=0}^{6}P(X=k)=0,95904.

Passo 6

Logo
P(2\le X\le6)=F(6)-F(1)=0,95904-0,18144=0,77760.

Resposta

(a) Para x\in\{0,1,\dots,8\},
P(X=x)=\sum_{c=0}^{3}\binom{3}{c}(0,4)^c(0,6)^{3-c}\,\binom{2}{\,x-2c\,}(0,4)^{\,x-2c\,}(0,6)^{2-(x-2c)},
com \binom{2}{k}=0 se k\notin\{0,1,2\}. Numericamente: P(X=0)=0,07776, P(X=1)=0,10368, P(X=2)=0,19008, P(X=3)=0,20736, P(X=4)=0,17280, P(X=5)=0,13824, P(X=6)=0,06912, P(X=7)=0,03072, P(X=8)=0,01024.
(b) A função acumulada é F(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}P(X=k) e
P(2\le X\le6)=F(6)-F(1)=0,77760.

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